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Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

(1) 

まえがき

この規格は,工業標準化法に基づいて,日本工業標準調査会の審議を経て,通商産業大臣が制定した日

本工業規格である。

今回の制定では,国際規格に整合させるために,ISO 11453 : 1996 を基礎として用いた。

JIS Z 9041-3

には,次に示す附属書がある。

附属書 A(規定)  書式 B による検定の検定特性の計算

附属書 B(参考)  書式の使用例

附属書 C(参考)  参考文献

JIS Z 9041 : 1999

は,一般名称を“データの統計的な解釈方法”として,次の各部によって構成される。

第 1 部:データの統計的記述

第 2 部:平均と分散に関する推定方法と検定方法

第 3 部:割合に関する検定方法と推定方法

第 4 部:平均と分散に関する検定方法の検出力


Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

(1) 

目次

ページ

序文

1

1.

  適用範囲

1

2.

  引用規格

1

3.

  定義

2

4.

  記号

2

5.

  割合 p の点推定量

2

6.

  割合 p の信頼限界

2

7.

  割合 p の有意性検定

3

7.1

  一般

3

7.2

  割合と与えられた値 p0 との比較

3

7.3

  二つの割合の比較

4

8.

  書式

5

8.1

  書式 A:割合 p の信頼区間

5

8.2

  書式 B:割合 p と与えられた値 p0 との比較

10

8.3

  書式 C:二つの割合の比較

15

9.1

  F 分布のパーセント点の表 4 における内挿

22

9.2

  例

22

附属書 A(規定)  書式 B による検定の検定特性の計算

39

附属書 B(参考)  書式の使用例

42

附属書 C(参考)  参考文献54


日本工業規格

JIS

 Z

9041-3

 : 1999

 (ISO

11453

 : 1996

)

データの統計的な解釈方法−

第 3 部:割合に関する検定方法と

推定方法

Statistical Interpretation of Data

Part 3 : Tests and confidence intervals relating to proportions

序文  この規格は,1996 年に第 1 版として発行された ISO 11453,Statistical interpretation of data−Tests and

confidence intervals relating to proportions

及び 1999 年に発行された Technical Corrigendum を翻訳し,技術的

内容及び規格票の様式を変更することなく作成した日本工業規格である。

  なお,この規格で点線の下線が施してある“参考”は,原国際規格にはない事項である。

1.

適用範囲  この規格は,次の問題を扱うための統計的方法について規定する。

a)

ある集団から アイテムのサンプルが抽出され,

そのうちの 個がある特定の特性を示しているとき,

その特性の母集団での割合はどのくらいか。

8.1  書式 A,参照)

b)  a)

で推定された割合は,名目上の(指定された)値と異なるのか。

8.2  書式 B,参照)

c)

母集団が二つ与えられたとき,二つの母集団でその特性の割合は異なるのか。

8.3  書式 C,参照)

d)  b)

及び c)において,その検定結果が確かであることを十分に保証するためには,母集団からどのくら

いのアイテムを抽出しなければならないのか。

7.2.3 及び 7.2.4 参照)

サンプルを抽出することが母集団に対して実質的な影響を与えないということが重要である。もし,ラ

ンダムに抽出されたサンプルが母集団の 10%以下であれば,通常この条件は満たされる。10%を超える場

合には,復元サンプリングを用いていれば,信頼できる結果となっている。

2.

引用規格  次に掲げる規格は,この規格に引用されることによってこの規格の規定の一部を構成する。

これらの引用規格のうちで,発行年を付記してあるものは,記載の年の版だけがこの規格の規定を構成す

るものであって,その後の改正版・追補には適用しない。発効年を付記していない引用規格は,その最新

版(追補を含む)を適用する。

JIS Z 8101-1

  統計−用語及び記号−第 1 部:確率及び一般統計用語

備考  ISO 3534-1 : 1993  Statistics−Vocabulary and symbols−Part 1 : Probability and general statistical

terms

からの引用事項は,この規格の該当事項と同等である。

JIS Z 8101-2

  統計−用語及び記号−第 2 部:統計的品質管理用語

備考  ISO 3534-2 : 1993  Statistics−Vocabulary and symbols−Part 2 : Statistical quality control terms か

らの引用事項は,この規格の該当事項と同等である。


2

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

3.

定義  この規格で用いる主な用語の定義は,JIS Z 8101-1 によるほか,次による。

3.1

該当アイテム (target item)  ある特定の特性をもったアイテム。

4.

記号

α

選ばれた有意水準

α

達成された有意水準

1

α

選ばれた信頼係数

β

第 2 種の誤りの確率

n ; n

1

 ; n

2

サンプルサイズ,サンプル 1 のサンプルサイズ,サンプル 2 のサンプルサイズ

X

サンプルにおける該当アイテムの数(確率変数)

x

X

の値

p

母集団における該当アイテムの割合

p

uo

p

の片側信頼区間の上限

p

lo

p

の片側信頼区間の下限

p

ut

p

の両側信頼区間の上限

p

lt

p

の両側信頼区間の下限

T

n

≦30 の場合の信頼限界決定のための

表 の値

C

lo

帰無仮説 H

0

pp

0

の検定のための棄却限界値

C

uo

帰無仮説 H

0

pp

0

の検定のための棄却限界値

C

lt

帰無仮説 H

0

pp

0

の検定のための下側棄却限界値

C

ut

帰無仮説 H

0

pp

0

の検定のための上側棄却限界値

p

0

与えられた の値

p’

帰無仮説を棄却しない確率  (P

a

)

を求めるために用いる の値

P

a

帰無仮説を棄却しない確率

υ

1

,

υ

2

F

分布の自由度

F

1

F

2

検定統計量

F

q

 (v

1

v

2

)

自由度 v

1

v

2

の F 分布の 100q%点(下側確率)

z

1

z

2

検定統計量

u

q

標準正規分布の 100q%点(下側確率)

q,

η

K

補助的に用いる値のための記号

5.

割合 の点推定量  個の該当アイテムを含んだ アイテムのサンプルから求められる の推定量は

n

x

p

/

ˆ

=

である。

サンプルがランダムに抽出されていれば,サンプルサイズや母集団の大きさによらず,また,たとえサ

ンプルが母集団のかなりの部分を占めるとしても,この推定量は不偏である。

6.

割合 の信頼限界  の信頼区間の計算は,書式 A-1 から A-3 に示される。

信頼限界は,サンプルサイズ  (n),サンプルにおける該当アイテムの数  (x)  及び選ばれた信頼係数 (1−

α

)

によって決まる。の従う確率分布は離散分布なので,選ばれた信頼係数を正確に達成することは一般


3

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

に可能でない。したがって,この方法は, (1−

α

)

以上で (1−

α

)

に最も近い信頼係数を与える。

選ばれた信頼係数 (1−

α

)

の両側信頼限界を求めるために,この規格で使われる方法では,選ばれた信

頼係数 (1−

α

/2)

の上側及び下側の片側信頼限界のそれぞれを信頼限界として用いる。それゆえ,誤りの

確率は信頼区間のそれぞれの側で

α

/2

以下であることが保証される。

7.

割合 の有意性検定

7.1

一般  実用に配慮して,書式 B-1 から B-3 及び C-1 から C-3 には,割合に関する帰無仮説と検定を

行うための計画が示されている。方法の最初に,適切な帰無仮説とサンプルサイズ n(サンプルサイズ n

1

及び n

2

)が決められ,有意水準が選ばれる。標本分布はもともと離散分布なので,方法は選ばれた(名目

上の)水準以下で最も近い有意水準を達成するように計画されている。対立仮説は帰無仮説の補集合とし

て暗黙的に仮定されるので,書式では対立仮説を明示しない。

例  書式 B(割合と与えられた値との比較の方法)の最初で,次の三つの帰無仮説 H

0

(対立仮説 H

1

は H

0

の補集合)の中から一つを選ぶ。

a) 

H

0

 : p

p

0

の片側検定

H

1

 : p

p

0

b)

  H

0

 : p

p

0

の片側検定

H

1

 : p

p

0

c)

H

0

 : p

p

0

の両側検定

H

1

 : p

p

0

ただし,p

0

は与えられた値である。

それぞれの検定結果は,帰無仮説を棄却するか又は棄却しないかのいずれかである。

帰無仮説を棄却するということは,対立仮説を採用することを意味する。帰無仮説を棄却しないという

ことは,必ずしも帰無仮説を許容するということを意味するわけではない。

7.2.2 参照)

7.2

割合と与えられた値 p

0

との比較

7.2.1

検定方法

帰無仮説

H

0

 : p

p

0

H

0

 : p

p

0

H

0

 : p

p

0

の検定方法(ただし,p

0

は与えられた値)は,書式 B-1 から B-3 に示されている。もし,n及び

α

の特

定の値に対して棄却限界値が既知であれば,これらの方法を適用することは非常に簡単である。書式 B に

従って検定を繰り返し行うことによって,棄却限界値を決めてもよい。棄却限界値を決めるための別の標

準的な方法が,同じ書式に与えられている。

7.2.2

検定特性  検定特性の計算(第 1 種の誤りの確率,達成される有意水準及び第 2 種の誤りの確率を

含んでいる)は,

附属書 に示されている。この目的のために,棄却限界値は既知である必要があり(7.2.1

参照)

,第 2 種の誤りの確率を計算するために対立仮説 pp

1

を選ばなければならない。

7.2.3

サンプルサイズ の決定  もし,サンプルサイズが決められていないならば(例えば,経済的又は

技術的な理由で)

,与えられた帰無仮説 H

0

7.2.1 参照)に対して有意水準

α

の達成値が選ばれた又は与え

られた値以下になるように,その最小値に決められなければならない。また,もし,が特別に選ばれた

又は与えられた値 p’と等しければ,第 2 種の誤りの確率

β

の達成値が,近似的にその選ばれた又は与えら

れた値に等しくならなければならない。この目的のために,ラーソン (Larson) のノモグラフ(

図 2)が用

いられる。ここで,p

0

と p’が 尺上に,

α

, (1−

α

)

α

/2

, (1−

α

/2)

が 尺上にプロットされ,

表 で定

められる直線 1 と 2 が引かれる。


4

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

表 1  ラーソン (Larson) のノモグラフ(図 2)でサンプルサイズを決定する方法

場合

与えられた値

p

0

と下の値を結ぶ直線 1

p

´と下の値を結ぶ直線 2

H

0

 : p

p

0

p

´<p

0

α

1

β

H

0

 : p

p

0

p

´>p

0

1

α

β

H

0

 : p

p

0

p

´>p

0

1

α

/2

β

H

0

 : p

p

0

p

´<p

0

α

/2 1

β

二つの直線の交点で 尺上の値 C

l, o

    (C

u, o)

を読み取る。もし,が整数でなければ,前後の整数に丸め

る。

7.3

二つの割合の比較

7.3.1

検定方法

帰無仮説

H

0

 : p

1

p

2

H

0

 : p

1

p

2

H

0

 : p

1

p

2

の検定方法(ただし,p

1

は母集団 1 の該当アイテムの割合で,p

2

は母集団 2 の該当アイテムの割合であ

る)は,書式 C-1 から C-3 に示されている。これらの方法は,また,一つの母集団におけるアイテムの 2

種の属性(2 種の 2 値特性)の独立性を検定するためにも適している。

7.3.2

検定特性  次のことが仮定される。

a)

H

0

 : p

1

p

2

の片側検定において,検出力 (1−

β

)

は,p

1

p

2

と判断される確率を p

1

と p

2

の与えられた

組み合わせに対して計算したものとする。

b)

二つのサンプルサイズが同じ,すなわち,n

1

n

2

とする。

有意水準を

α

としたとき,検出力のたいへん正確な近似値が,次に示すウォルターズ(Walters [1]  に

よって提案された)逆正弦変換によって得られる:

1

β

φ

 (z

u

1

α

)

ただし,

φ

は,標準正規分布の分布関数,

u

1

α

は,標準正規分布の 100 (1−

α

) %

点,

n

z

2

=

[arcsin

(

)

(

)

n

p

n

p

2

/

1

arcsin

2

/

1

2

1

]

である。

この近似は,また,両側の場合(対立仮説 H

1

 : p

1

p

2

をもつ H

0

 : p

1

p

2

)に対して,

α

α

/2

に置き換え

ることによって用いることができる。

7.3.3

サンプルサイズ の決定  もし,サンプルサイズ n

1

と n

2

とが前もって決められていない場合には,

有意水準を

α

として,検定の検出力が (1−

β

)

以上となるような,最小の自然数に決められなければならな

い。

帰無仮説を H

0

 : p

1

p

2

と仮定する。しかし,次に示す方法は,また,

α

α

/2

に置き換え,制限のついた

対立仮説 H

1

 : p

1

p

2

を用いることによって両側の場合の H

0

 : p

1

p

2

にも適用する。

サンプルサイズの正確な値は,選ばれた

α

β

の値に対してヘイスマン(Haseman [2] によって最初に発

表された)

表 及び表 で与えられる。これらの表は,二つの母集団に共通のサンプルサイズ nn

1

n

2

を仮定している。

これらの表に載せられていない

α

p

1

p

2

及び (1−

β

)

の値に対して,次の近似式を使うことができる。


5

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

これは,また,サンプルサイズが等しくない場合も適用できる。その場合にはサンプルサイズの比 r (n

1

/n

2

)

を前もって選んでおく必要がある。

( )

(

)

2

2

1

1

1

2

1

1

4

ú

û

ù

ê

ë

é

+

+

+

=

p

p

n

r

r

n

n

n

2

=n

1

/r

ただし,

( )

(

)

(

)

[

]

{

}

(

)

2

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

p

p

r

p

p

p

rp

u

q

p

r

u

n

+

+

+

=

β

α

1

2

1

+

+

=

r

p

rp

p

p

q

=1

である。

8.

書式  適用を簡単にするために,書式で用いられる部分を表している□に印を付ける。(□の水平位置

が,それぞれの部分のその書式の階層における位置を示す。右が上位の階層である。

)次に,必要なデータ

を記入し,要求される手順に従う。

8.1

書式 A:割合 の信頼区間


6

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.1.1

書式 A-1:片側,割合 の信頼区間の上限

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

選択した信頼係数:1−

α

サンプルサイズ:n= 
サンプルにおける該当アイテムの数:x

信頼限界の決定:

a)  n

≦30 のときの方法

1)  x

の場合

p

uo

=1

2)  x

の場合

既知の値 nX及び q

1

α

に対する

表 の値を読む。

(この値が信頼限界である。

T

 (1-

α

)

 (nx)

p

u, o

b)  n

>30 のときの方法

1)  x

=0 の場合

計算:

p

u, o

=1−

α

1/n

2)  x

の場合

p

uo

=1

3)  0

xの場合

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

選択した信頼係数に対応する の値を読む。

計算:

p

*

=  (x+1) / (n+1)

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

(

)

=

+

+

+

+

+

=

1

/

1

/

1

1

1

/

2

1

*

*

1

*

*

,

n

n

d

p

p

u

n

d

p

p

p

o

u

α

結果:

p

p

u, o


7

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.1.2

書式 A-2:片側,割合 の信頼区間の下限

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

選択した信頼係数:1−

α

サンプルサイズ:n= 
サンプルにおける該当アイテムの数:x

信頼限界の決定:

a)  n

≦30 のときの方法

1)  x

=0 の場合

p

lo

=0

2)  x

>0 の場合

既知の値 nXn

x

及び q=1−

α

に対する表 2 の値を読む。

T

 (1-

α

)

 (n, n

x)  =

計算:

p

l, o

=1−T

 (1-a)

 (n, n

x)  =

b)  n

>30 のときの方法

1)  x

=0 の場合

p

lo

=0

2)  x

の場合

計算:

p

l, o

α

1/n

3)  0

xの場合

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:u

1-a

選択した信頼係数に対応する の値を読む。

計算:

p

*

x/ (n+1)

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

(

)

=

+

+

+

+

=

1

/

1

/

1

1

1

/

2

1

*

*

1

*

*

,

n

n

d

p

p

u

n

d

p

p

p

o

l

α

結果:

  p

l, o

p


8

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.1.3

書式 A-3:割合 の両側信頼区間

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

選択した信頼係数:1−

α

サンプルサイズ:n= 
サンプルにおける該当アイテムの数:x

信頼限界の決定:

a)  n

≦30 のときの方法

1)

上側信頼限界

−  xの場合

p

ut

=1

−  xの場合

既知の値 nX及び q=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む。

(この値が信頼限界である。

T

 (1

α

/2)

 (nx)

p

u, t

2)

下側信頼限界

−  x=0 の場合

p

lt

=0

−  x>0 の場合

既知の値 nXn及び q=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む。

T

 (1-

α

/2)

 (nn

x)  =

計算:

p

l, t

=1−T

 (1-

α

/2)

 (nn

x)  =

b)  n

>30 のときの方法

1)

上側信頼限界

−  x=0 の場合

計算:

p

u, t

=1−  (

α

/2)

1/n

−  xの場合

p

u, t

=1

−  0<xの場合

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

/2

選択した信頼係数に対応する の値を読む。

計算:p

*

=  (x+1) / (n+1)

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

(

)

=

+

+

+

+

+

=

1

/

1

/

1

1

1

/

2

1

*

*

2

/

1

*

*

,

n

n

d

p

p

u

n

d

p

p

p

t

u

α

2)

下側信頼限界

−  x=0 の場合

p

lt

=0

−  xの場合

計算:

p

l, t

=  (

α

/2)

1/n

−  0<xの場合

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

/2

選択した信頼係数に対する の値を読む。


9

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

計算:

p

*

x/ (n+1)

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

(

)

=

+

+

+

+

=

1

/

1

/

1

1

1

/

2

1

*

*

2

/

1

*

*

,

n

n

d

p

p

u

n

d

p

p

p

t

l

α

 

結果:

p

l, t

p

u, t

p

l, t

pp

u, t


10

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.2

書式 B:割合 と与えられた値 p

0

との比較

8.2.1

書式 B-1H

0

 : p

p

0

の片側検定を用いた割合 と与えられた値 p

0

との比較

特性:

測定方法: 
アイテム: 
該当アイテムの識別基準:

備考:

与えられた値 p

0

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ:n= 
サンプルにおける該当アイテムの数:x

検定方法:

I

  棄却限界値が既知である(7.2.1 参照及び適用可能ならば次に棄却限界値の決定)

C

lo

もし,xC

lo

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

II

  棄却限界値が未知である:

a)  x

p

0

n

の場合

H

0

は棄却されない。

b)  x

p

0

n

の場合

1)  n

≦30 のときの方法

n

及び信頼係数 (1−

α

)

に対する片側の上側信頼限界を書式 A-1 に従い求める:

p

u, o

もし,p

u, o

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

2)  n

>30 のときの方法

−  x=0 の場合

計算:

p

u, o

=1−

α

1/n

[書式 A- 1b)(

1

)

参照]

もし,p

u, o

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

−  0<xの場合

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

計算:

(

)

(

)(

)

[

]

=

+

=

0

0

1

1

1

2

p

x

p

x

n

u

もし,u

1

u

1-

α

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

検定結果:

H

0

を棄却する

H

0

を棄却しない

棄却限界値の決定:

C

l, o

は,書式 B-1

II による検定で H

0

を棄却しない最小の非負の整数 である。C

l, o

は,の異なる値に対して書式

B-1

II を繰り返し適用することによって求められる(

1

)

。それによって,片方は帰無仮説を棄却し,他のものは棄却

しないような値が 1 異なる二つの が求まる。もし,について出発値が必要ならば x

start

を次のように求めることが

できる。

計算:

np

0

を前後の整数に丸めたものが x*=

p

l, o|x=x

*

=  (p

l, o|xx

*

は書式 A-2 から求められる)

np

l, o|x

x

*

を前後の整数に丸めたものが x

start

書式 B-1−II の検定結果の解釈:

x

C

l, o

−1=

のとき,H

0

を棄却する。

x

C

l, o

のとき,H

0

を棄却しない。

結果: 
  C

l, o

(

1

)

サンプルサイズ がたいへん小さいとき,及び/又は p

0

が極端な値のとき,棄却限界値は存在しないことがあ

る。


11

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.2.2

書式 B-2H

0

 : p

p

0

の片側検定を用いた割合 と与えられた値 p

0

との比較

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

与えられた値 p

0

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ:n

サンプルにおける該当アイテムの数:x

検定方法:

I

  棄却限界値が既知である(7.2.1 参照及び

適用可能ならば次に棄却限界値の決定)

C

u, o

もし,xC

u, o

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

II

  棄却限界値が未知である:

a)  x

p

0

n

の場合

H

0

は棄却しない。

b)  x

p

0

n

の場合

1)  n

≦30 のときの方法

n

及び信頼係数 (1−

α

)

に対する片側の下側信頼限界を書式 A-2 に従い求める:

p

l, o

もし,p

l, o

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。 

2)  n

>30 のときの方法

−  xの場合

計算:

p

l, o

=

α

1/n

[書式 A-2b)(

1

)

参照]

もし,p

l, o

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

−  0<xの場合

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

計算:

(

) (

)

[

]

=

+

=

0

0

2

1

1

2

p

x

n

p

x

u

もし,u

2

u

1-a

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。


12

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

検定結果:

H

0

を棄却する

H

0

を棄却しない

棄却限界値の決定:

C

u, o

は,書式 B-2

II による検定で帰無仮説を棄却しない最大の整数 である。C

u, o

は,の異なる値に対して書式

B-2

II を繰り返し適用することにより求められる(

1

)

。それによって,片方は帰無仮説を棄却し,他のものは棄却し

ないような,値が 1 異なる二つの が求まる。もし,必要ならば について出発値 x

start

を次のように求めることがで

きる。

計算:

np

0

を前後の整数に丸めたものが x*=

p

u, o|x=x

*

=  (p

u, o|x=x

*

は書式 A-1 から求められる)

np

u, o|x=x

*

を前後の整数に丸めたものが x

start

書式 B-2

II の検定結果の解釈:

x

C

u, o

のとき,H

0

を棄却しない。

x

C

u, o

+1=

のとき,H

0

を棄却する。

結果: 
  C

u, o

(1)  サンプルサイズ がたいへん小さいとき,及び/又は p

0

が極端な値のとき,棄却限界値は存在しないことがあ

る。


13

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.2.3

書式 B-3H

0

 : p

p

0

の両側検定を用いた割合 と与えられた値 p

0

との比較

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

与えられた値 p

0

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ:n

サンプルにおける該当アイテムの数:x

検定方法:

I

  棄却限界値が既知である(7.2.1 参照及び

適用可能ならば次に棄却限界値の決定)

C

l, t

C

u, t

もし,xC

l, t

又は x>C

u, t

ならば H

0

は棄却;

そうでなければ棄却しない。

II

  棄却限界値が未知である:

a)  n

≦30 のときの方法

n

及び信頼係数 (1−

α

)

に対する両側信頼限界を書式 A-3 に従い求める:

p

l, t

p

u, t

もし,p

l, t

p

0

又は p

u, t

p

0

ならば H

0

を棄却;

そうでなければ棄却しない。

b)  n

>30 のときの方法

1)  x

=0 の場合

計算:

p

u, t

=1−  (

α

/2)

1/n

もし,p

u, t

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

2)  x

の場合

計算:

p

l, t

=  (

α

/2)

1/n

もし,p

l, t

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

3)  0

xの場合

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:u

1-a/2

計算:

(

)

( )(

)

[

]

=

+

=

0

0

1

1

1

2

p

x

p

x

n

u

(

) (

)

[

]

=

+

=

0

0

2

1

1

2

p

x

n

p

x

u

もし,u

1

u

1-

α

/2

又は u

2

u

1-

α

/2

ならば H

0

を棄却;

そうでなければ棄却しない。

検定結果: 
  H

0

を棄却する

  H

0

を棄却しない

棄却限界値の決定: 
  書式 B-3

II による検定で H

0

を棄却しない最小の非負の整数 が C

l, t

で,最大の整数が C

u, t

である。C

l, t

及び C

u, t

は,の異なる値に対して書式 B-3

II を繰り返し適用することによって求められる(

1

)

  それによって,それぞれの側で,片方は帰無仮説を棄却し,他のものは棄却しないような,値が 1 異なる二つずつ
の の値が求まる。

  もし,必要ならば,についての出発値 x

start

を次のように求めることができる。


14

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

計算: 
  np

0

を前後の整数に丸めたものが x*=

  p

l, t|xx

*

p

u, t|xx

*

  p

l, t|x=x

*

及び p

u, t|x=x

*

は書式 A-3 から求められる。

  np

l, t|x=x

*

を前後の整数に丸めたものが x

start

 (lower)

  np

u, t|x=x

*

を前後の整数に丸めたものが x

start

 (upper)

書式 B-3

II の検定結果の解釈:

x

C

l, t

−1=

のとき,H

0

を棄却する。

x

C

l, t

=  から xC

u, t

のとき,H

0

を棄却しない。

x

C

u, t

+1=

のとき,H

0

を棄却する。

結果: 
  C

l, t

C

u, t

(

1

)

サンプルサイズ がたいへん小さいとき,及び/又は p

0

が極端な値のとき,棄却限界値は存在しないことがあ

る。


15

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.3

書式 C:二つの割合の比較

8.3.1

書式 C-1H

0

 : p

1

p

2

の片側検定を用いた二つの割合の比較

特性:

測定方法: 
アイテム: 
該当アイテムの識別基準:

備考:

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ 1:n

1

サンプルサイズ 2:n

2

サンプル 1 における該当アイテムの数:x

1

サンプル 2 における該当アイテムの数:x

2

自明なケースの検討:

2

2

1

1

n

x

n

x

  が真である

が真でない

  真の場合,帰無仮説は棄却されず,検定結果を直ちに得ることができる。 
  そうでなければ,次の方法で H

0

を棄却するか否かを決める。

自明でないケースの検定方法: 
もし,n

1

n

2

 (x

1

x

2

)

,(n

1

n

2

x

1

x

2

)

のうち少なくても一つが  (n

1

n

2

) /4

以下であるならば,2 項近似  (I)  を適用

すべきである。そうでなければ正規近似  (II)  を適用しなければならない。しかし,たとえ上記の条件が満たされた

としても,次の二つの条件が満たされれば,正規近似を適用することができる:

−  2 項近似を適用する際に,分布表での内挿が必要である。 
−  n

1

と n

2

の値が同程度である又は  (x

1

x

2

)

と  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

の値が同程度である。

決定:

2

項近似を適用する(へ進む)

正規近似を適用する(II へ進む)

I

  2

項近似 

変数:K

1

K

2

η

1

η

2

の決定:

もし,

n

2

n

1

かつ n

2

<(x

1

x

2

)

]又は

[(n

1

n

2

x

1

x

2

)

n

1

かつ  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

<(x

1

x

2

)

ならば,変数を次のように決定する。

η

1

n

2

η

2

n

1

K

1

n

2

x

2

K

2

n

1

x

1

そうでなければ,以下のように決定する。

η

1

n

1

η

2

n

2

K

1

x

1

K

2

x

2


16

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

I

  a)

η

1

K

1

K

2

の場合

(

)(

)

(

)(

)

=

+

+

+

+

=

1

2

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

1

1

2

K

K

K

K

K

K

F

η

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (K

1

+1)  =

ν

2

=2 (

η

1

K

1

)

q

=1−

α

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-

α

)

 (

ν

1

,

ν

2

)

I

  b)

η

1

K

1

K

2

の場合

(

)

(

)(

)

=

+

+

=

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

K

K

K

K

F

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (K

1

+1)  =

ν

2

=2K

2

q

=1−

α

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-

α

)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2

項近似の場合の自明でないケースの結論:

    F

2

F

 (1-

α

)

 (

ν

1

,

ν

2

)

    ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

II

正規近似 

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

(

) (

(

)

(

)(

) (

)

=

+

+

+

+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

/

2

/

1

n

n

x

x

n

n

x

x

n

n

n

n

x

x

x

n

z

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

正規近似の場合の自明でないケースの結論: 
    z

2

u

1-

α

    ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

検定結果:

    H

0

を棄却する。

    H

0

を棄却しない。


17

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.3.2

書式 C-2H

0

 : p

1

p

2

の片側検定を用いた二つの割合の比較

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ 1:n

1

サンプルサイズ 2:n

2

サンプル 1 における該当アイテムの数 1:x

1

サンプル 2 における該当アイテムの数 2:x

2

自明なケースの検討:

2

2

1

1

n

x

n

x

が真である

が真でない

真の場合,帰無仮説は棄却されず,検定結果を直ちに得ることができる。 
そうでなければ,次の方法で H

0

を棄却するか否かを決める。

自明でないケースの検定方法: 
もし,n

1

n

2

,  (x

1

x

2

)

,  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

のうち少なくても一つが  (n

1

n

2

) /4

以下であるならば,2 項近似  (I)  を

適用すべきである。そうでなければ正規近似  (II)  を適用しなければならない。しかし,たとえ上記の条件が満たさ
れたとしても,次の二つの条件が満たされれば,正規近似を適用することができる:

−  2 項近似を適用する際に,分布表での内挿が必要である。

−  n

1

と n

2

の値が同程度である又は  (x

1

x

2

)

と  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

の値が同程度である。

決定:

2

項近似を適用する(へ進む)

正規近似を適用する(II へ進む)

I

  2

項近似 

変数:K

1

K

2

η

1

η

2

の定義:

    もし,

n

2

n

1

かつ n

2

<(x

1

x

2

)

]又は

    [(n

1

n

2

x

1

x

2

)

n

1

かつ  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

<(x

1

x

2

)

ならば,変数を次のように決定する。

η

1

n

2

η

2

n

1

K

1

n

2

x

1

K

2

n

1

x

1

そうでなければ,次のように決定する。

η

1

n

1

η

2

n

2

K

1

=x

1

K

2

x

2


18

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

I

  a)

η

1

K

1

K

2

の場合

(

)

(

)(

)

=

+

+

+

+

=

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

1

1

K

K

K

K

K

K

F

η

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (

η

1

K

1

+1)  =

ν

2

=2K

1

q

=1−

α

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-

α

)

ν

1

,

ν

2

)=

I

  b)

η

1

K

1

K

2

の場合

(

)

(

)(

)

=

+

+

=

1

2

1

2

1

1

2

2

2

1

1

K

K

K

K

F

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (K

2

+1)  =

ν

2

=2K

1

q

=1−

α

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-

α

)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2

項近似の場合の自明でないケースの結論:

    F

1

F

 (1-

α

)

 (

ν

1

,

ν

2

)

    ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

II

  正規近似 

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

=

+

+

+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

1

/

2

/

1

n

n

x

x

n

n

x

x

n

n

x

x

n

n

n

x

z

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:

  u

1-

α

正規近似の場合の自明でないケースの結論:

  z

1

u

1-

α

  ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

検定結果: 
  H

0

を棄却する。

  H

0

を棄却しない。


19

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

8.3.3

書式 C-3H

0

 : p

1

=p

2

の両側検定を用いた二つの割合の比較

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ 1:n

1

サンプルサイズ 2:n

2

サンプル 1 における該当アイテムの数:x

1

サンプル 2 における該当アイテムの数:x

2

自明なケースの検討:

2

2

1

1

n

x

n

=

  が真である

が真でない

  真の場合,帰無仮説は棄却されず,検定結果を直ちに得ることができる。 
  そうでなければ,次の方法で H

0

を棄却するか否かを決める。

自明でないケースの検定方法: 
  もし,n

1

n

2

,  (x

1

x

2

)

,  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

のうち少なくても一つが  (n

1

n

2

) /4

以下であるならば,2 項近似(I)を

適用すべきである。そうでなければ正規近似(II)を適用しなければならない。しかし,たとえ上記の条件が満たされ
たとしても,次の二つの条件が満たされれば,正規近似を適用することができる:

−  2 項近似を適用する際に,分布表での内挿が必要である。

−  n

1

と n

2

の値が同程度である又は  (x

1

x

2

)

と  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

の値が同程度である。

決定:

2

項近似を適用する(へ進む)

正規近似を適用する(II へ進む)

I

  2

項近似

変数:K

1

K

2

η

1

η

2

の定義:

もし,

n

2

n

1

かつ n

2

<(x

1

x

2

)

]又は

[(n

1

n

2

x

1

x

2

)

n

1

かつ  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

<(x

1

x

2

)

ならば,変数を次のように決定する。

η

1

n

2

η

2

n

1

K

1

n

2

x

2

K

2

n

1

x

1

そうでなければ,以下のように定義する。

η

1

n

1

η

2

n

2

K

1

x

1

K

2

x

2


20

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

I

  a)

η

1

K

1

K

2

の場合

1)

2

2

1

1

η

η

K

>

の場合

書式 C-2 から,F

1

,

ν

1

及び

ν

2

を求める:

F

1

ν

1

ν

2

q

=1−

α

/2

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-

α

/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2)

2

2

1

1

η

η

K

K

の場合

書式 C-1 から,F

2

ν

1

及び

ν

2

を求める:

F

2

ν

1

ν

2

q

=1−

α

/2,

ν

1

,

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-

α

/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

I

  b)

η

1

K

1

K

2

の場合

1)

2

2

1

1

η

η

K

>

の場合

書式 C-2 から,F

1

ν

1

及び

ν

2

を求める:

F

1

ν

1

ν

2

q

=1−

α

/2

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-

α

/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2) 

2

2

1

1

η

η

K

K

の場合

書式 C-1 から,F

2

ν

1

及び

ν

2

を求める:

F

2

ν

1

ν

2

q

=1−

α

/2

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-

α

/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2

項近似の場合の自明でないケースの結論:

2

2

1

1

η

η

K

>

の場合:  F

1

F

 (1-

α

/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2

2

1

1

η

η

K

K

の場合:  F

2

F

 (1-

α

/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

II

正規近似 

検定統計量の計算と表の値の決定:

a)

2

2

1

1

n

x

n

>

の場合

書式 C-2 から z

1

を求める:

z

1

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:

u

1-

α

/2

b)

2

2

1

1

n

x

n

x

の場合

書式 C-1 から z

2

を求める:

z

2

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:

u

1-

α

/2


21

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

正規近似の場合の自明でないケースの結論:

2

2

1

1

n

x

n

>

の場合:

z

1

u

1-

α

/2

2

2

1

1

n

x

n

x

の場合:

z

2

u

1-

α

/2

ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

検定結果:

  H

0

を棄却する。

  H

0

を棄却しない。


22

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

9.

表及びノモグラフ

9.1

F

分布のパーセント点の表 における内挿  F

q

 (

ν

,

ν

2

)

F (

ν

1

,

ν

2

)

を求めたい場合,

ν

11

ν

1

ν

12

とし

て,

表 4

には直前直後の値

F (

ν

11

,

ν

2

)

及び

F (

ν

12

,

ν

2

)

が示されているとする。

そのとき

(

) (

)

(

) (

)

[

]

÷÷ø

ö

ççè

æ

=

11

12

11

1

1

12

2

12

2

11

2

11

2

1

,

,

,

,

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

F

F

F

F

となる。

もし,

ν

21

ν

2

ν

22

として,直前直後の値

F (

ν

1

,

ν

21

)

及び

F (

ν

1

,

ν

22

)

が表に与えられているのならば,

ν

2

に関する内挿も同様な方法で行われる。

(

) (

)

(

) (

)

[

]

÷÷ø

ö

ççè

æ

=

21

22

21

2

2

22

22

1

21

1

21

1

2

1

,

,

,

,

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

F

F

F

F

もし,求めたい

F

値が

ν

1

及び

ν

2

の両方が表に載っていないならば,内挿は

3

回必要になる,すなわち,

はじめに二つの自由度のうち一つに関して並行に内挿(

2

回)を行い,それからもう一方の自由度に関し

て内挿(

3

回目)を行うことになる。

もし,

ν

1

30

及び

ν

2

30

ならば,

F

分布のパーセント点は次の公式の一つを選んで求められる。

( )

g

h

F

527

.

0

77

.

0

1131

.

1

lg

1

.

0

=

( )

g

h

F

681

.

0

95

.

0

4287

.

1

lg

05

.

0

=

(

)

g

h

F

846

.

0

14

.

1

7023

.

1

lg

025

.

0

=

( )

g

h

F

073

.

1

40

.

1

0206

.

2

lg

01

.

0

=

(

)

g

h

F

250

.

1

61

.

1

2373

.

2

lg

005

.

0

=

(

)

g

h

F

672

.

1

09

.

2

6841

.

2

lg

001

.

0

=

参考 lg

は、自然対数を意味する記号であるが、我が国では、

log

e

, ln

が通常用いられている。

ただし,

2

1

1

1

ν

ν

=

g

÷÷ø

ö

ççè

æ

+

=

2

1

1

1

2

ν

ν

h

F

q

 (

ν

1

,

ν

2

)

F

q

である。

9.2

帰無仮説 H

0

 : p

p

0

の検定の棄却限界値を決定する例が太線の入ったノモグラフ(

図 2

)太線で

に示されている(

7.2.1

参照)

。与えられた値は,p

0

=0.15,

α=0.05 及び n=35 である。ノモグラフから x

の値が 1 と 2 の間に読み取れ,それゆえ C

1, 0

=2 となる。

サンプルサイズ が決まっておらず,加えて

β=0.10 及び p’=0.039 が与えられているならば,2 番目の

線がサンプルサイズを決定するために,p’から 1−

βの間に引かれる。ノモグラフの二つの線の交点から n

=50 が導かれ,の値は 3 となる,すなわち,x≦3 のとき,帰無仮説を許容し,そうでないとき,帰無仮

説を棄却し,対立仮説を許容する。


23

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

表 2  n30 のときの割合 の上側の片側信頼限界

q

=0.950 のときの の値

n

0 1 2 3 4 5 6 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

1

0,950

                         

2

0,777

0,975

                        

3

0,632

0,865

0,984

                       

4

0,528

0,752

0,903

0,988

                      

5

0,451

0,658

0,811

0,924

0,990

                     

6

0,394

0,582

0,729

0,847

0,938

0,992

                    

7

0,349

0,521

0,659

0,775

0,872

0,947

0,993

                   

8

0,313

0,471

0,600

0,711

0,808

0,889

0,954

0,994

                  

9

0,284

0,430

0,550

0,656

0,749

0,832

0,903

0,959

0,995

                 

10

0,259

0,395

0,507

0,607

0,697

0,778

0,850

0,913

0,964

0,995

                

11

0,239

0,365

0,471

0,565

0,651

0,729

0,801

0,865

0,922

0,967

0,996

               

12

0,221

0,339

0,439

0,528

0,610

0,685

0,755

0,819

0,878

0,929

0,970

0,996

              

13

0,206

0,317

0,411

0,495

0,573

0,646

0,713

0,777

0,835

0,888

0,934

0,972

0,997

             

14

0,193

0,297

0,386

0,466

0,541

0,610

0,675

0,737

0,794

0,848

0,896

0,939

0,975

0,997

            

15

0,182

0,280

0,364

0,440

0,511

0,578

0,641

0,701

0,757

0,810

0,859

0,904

0,944

0,976

0,997

           

16

0,171

0,264

0,344

0,417

0,485

0,549

0,609

0,667

0,722

0,774

0,823

0,868

0,910

0,947

0,978

0,997

          

17

0,162

0,251

0,327

0,396

0,461

0,522

0,581

0,636

0,690

0,740

0,789

0,834

0,877

0,916

0,951

0,979

0,997

         

18

0,154

0,238

0,311

0,377

0,439

0,498

0,555

0,608

0,660

0,709

0,757

0,802

0,844

0,884

0,921

0,953

0,980

0,998

        

19

0,146

0,227

0,296

0,360

0,420

0,476

0,530

0,582

0,632

0,680

0,727

0,771

0,813

0,853

0,891

0,925

0,956

0,981

0,998

       

20

0,140

0,217

0,283

0,344

0,402

0,456

0,508

0,559

0,607

0,654

0,699

0,742

0,783

0,823

0,861

0,896

0,929

0,958

0,982

0,998

      

21  0,133 0,207 0,271 0,330 0,385 0,437 0,488 0,536

0,583

0,629

0,672

0,715

0,756

0,795

0,832

0,868

0,902 0,933

0,960

0,983

0,998

22  0,128 0,199 0,260 0,316 0,370 0,420 0,469 0,516

0,561

0,605

0,648

0,689

0,729

0,768

0,805

0,841

0,874 0,906

0,936

0,962

0,984

0,998

23  0,123 0,191 0,250 0,304 0,355 0,404 0,451 0,497

0,541

0,584

0,625

0,665

0,704

0,742

0,779

0,814

0,848 0,880

0,911

0,939

0,964

0,985

0,998

24  0,118 0,183 0,240 0,293 0,342 0,390 0,435 0,479

0,522

0,563

0,604

0,643

0,681

0,718

0,754

0,789

0,823 0,855

0,886

0,915

0,941

0,966

0,985

0 9 8

25  0,113 0,177 0,232 0,282 0,330 0,376 0,420 0,463

0,504

0,544

0,584

0,622

0,659

0,695

0,731

0,765

0,798 0,830

0,861

0,890

0,918

0,941

0,967

0,986

0,998

 

26  0,109 0,170 0,223 0,272 0,319 0,363 0,406 0,447

0,487

0,527

0,565

0,602

0,638

0,674

0,708

0,742

0,775 0,807

0,837

0,867

0,895

0,922

0,946

0,968

0,987

0,999

 

27  0,106 0,164 0,216 0,263 0,308 0,351 0,393 0,433

0,472

0,510

0,547

0,583

0,619

0,654

0,687

0,720

0,753 0,784

0,814

0,844

0,872

0,899

0,925

0,948

0,970

0,987

0,999

28  0,102 0,159 0,209 0,255 0,298 0,340 0,380 0,419

0,457

0,494

0,530

0,566

0,600

0,634

0,667

0,700

0,731 0,762

0,792

0,821

0,850

0,877

0,903

0,927

0,950

0,971

0,988

0,999

29  0,099 0,154 0,202 0,247 0,289 0,329 0,368 0,406

0,443

0,480

0,515

0,549

0,583

0,616

0,648

0,680

0,711 0,742

0,771

0,800

0,828

0,855

0,881

0,906

0,930

0,952

0,972

0,988

0,999

30  0,096 0,149 0,196 0,239 0,280 0,319 0,358 0,394

0,430

0,466

0,500

0,534

0,567

0,599

0,631

0,662

0,692 0,722

0,751

0,779

0,807

0,834

0,860

0,886

0,910

0,932

0,954

0,973

0,989 0,999

(注)

表中の (, ) は小数点を表す。


24

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

表 2  n30 のときの割合 の上側の片側信頼限界(続き)

q

=0.975 のときの の値

n

0 1 2 3 4 5 6 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

1

0,975

                         

2

0,842

0,988

                        

3

0,708

0,906

0,992

                       

4

0,603

0,806

0,933

0,994

                      

5

0,522

0,717

0,854

0,948

0,995

                     

6

0,460

0,642

0,778

0,882

0,957

0,996

                    

7

0,410

0,579

0,710

0,816

0,902

0,964

0,997

                   

8

0,370

0,527

0,651

0,756

0,843

0,915

0,969

0,997

                  

9

0,337

0,483

0,601

0,701

0,788

0,864

0,926

0,972

0,998

                 

10

0,309

0,446

0,557

0,653

0,738

0,813

0,879

0,934

0,975

0,998

                

11

0,285

0,413

0,518

0,610

0,693

0,767

0,833

0,891

0,940

0,978

0,998

               

12

0,265

0,385

0,485

0,572

0,652

0,724

0,790

0,849

0,901

0,946

0,980

0,998

              

13

0,248

0,361

0,455

0,539

0,615

0,685

0,749

0,808

0,862

0,910

0,950

0,981

0,999

             

14

0,232

0,339

0,429

0,508

0,582

0,649

0,712

0,770

0,824

0,873

0,917

0,954

0,983

0,999

            

15

0,219

0,320

0,405

0,481

0,552

0,617

0,678

0,735

0,788

0,837

0,882

0,923

0,957

0,984

0,999

           

16

0,206

0,303

0,384

0,457

0,524

0,587

0,646

0,702

0,754

0,803

0,849

0,890

0,928

0,960

0,985

0,999

          

17

0,196

0,287

0,365

0,435

0,499

0,560

0,617

0,671

0,722

0,771

0,816

0,858

0,897

0,932

0,963

0,986

0,999

         

18

0,186

0,273

0,348

0,415

0,477

0,535

0,591

0,643

0,693

0,740

0,785

0,828

0,867

0,904

0,936

0,965

0,987

0,999

        

19

0,177

0,261

0,332

0,396

0,456

0,513

0,566

0,617

0,666

0,712

0,756

0,798

0,838

0,875

0,909

0,940

0,967

0,987

0,999

       

20

0,169

0,249

0,317

0,379

0,437

0,492

0,543

0,593

0,640

0,685

0,729

0,770

0,809

0,847

0,882

0,914

0,943

0,968

0,988

0,999

      

21  0,162 0,239 0,304 0,364 0,420 0,472 0,522 0,570

0,616

0,660

0,703

0,743

0,782

0,819

0,855

0,888

0,918 0,946

0,970

0,989

0,999

22  0,155 0,229 0,292 0,350 0,403 0,454 0,503 0,549

0,594

0,637

0,678

0,718

0,757

0,793

0,829

0,862

0,893 0,922

0,949

0,971

0,989

0,999

23  0,149 0,220 0,281 0,336 0,388 0,438 0,485 0,530

0,573

0,615

0,656

0,695

0,732

0,769

0,803

0,837

0,868 0,898

0,926

0,951

0,973

0,990

0,999

24  0,143 0,212 0,270 0,324 0,374 0,422 0,468 0,511

0,554

0,595

0,634

0,672

0,709

0,745

0,779

0,813

0,844 0,874

0,903

0,929

0,953

0,974

0,990

0 9 9

25  0,138 0,204 0,261 0,313 0,361 0,408 0,452 0,494

0,536

0,575

0,614

0,651

0,687

0,723

0,756

0,789

0,821 0,851

0,880

0,907

0,932

0,955

0,975

0,991

0,999

 

26  0,133 0,197 0,252 0,302 0,349 0,394 0,437 0,478

0,518

0,557

0,595

0,631

0,667

0,701

0,735

0,767

0,798 0,828

0,857

0,885

0,911

0,935

0,957

0,976

0,991

1

 

27  0,128 0,190 0,243 0,292 0,338 0,381 0,423 0,463

0,502

0,540

0,577

0,613

0,647

0,681

0,714

0,746

0,777 0,806

0,835

0,863

0,889

0,914

0,937

0,959

0,977

0,991

1

28  0,124 0,184 0,236 0,283 0,327 0,369 0,410 0,449

0,487

0,524

0,560

0,595

0,629

0,662

0,694

0,725

0,756 0,785

0,814

0,842

0,868

0,894

0,918

0,940

0,960

0,978

0,992

1

29  0,120 0,178 0,228 0,274 0,317 0,358 0,398 0,436

0,473

0,509

0-544

0,578

0,611

0,644

0,675

0,706

0,736 0,765

0,794

0,821

0,848

0,873

0,898

0,921

0,942

0,962

0,979

0,992

1

30  0,116 0,173 0,221 0,266 0,308 0,348 0,386 0,423

0,459

0,494

0,529

0,562

0,594

0,626

0,657

0,688

0,717 0,746

0,774

0,801

0,828

0,853

0,878

0,901

0,923

0,944

0,963

0,979

0,992 1

(注)

表中のコンマ (, ) は小数点を表す。


25

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

表 2  n30 のときの割合 の上側の片側信頼限界(続き)

q

=0.990 のときの の値

n

0 1 2 3 4 5 6 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

1

0,990

                         

2

0,900

0,995

                        

3

0,785

0,942

0,997

                       

4

0,684

0,860

0,959

0,998

                      

5

0,602

0,778

0,895

0,968

0,998

                     

6

0,536

0,706

0,827

0,916

0,974

0,999

                    

7

0,483

0,644

0,764

0,858

0,930

0,978

0,999

                   

8

0,438

0,590

0,707

0,802

0,880

0,940

0,981

0,999

                  

9

0,401

0,545

0,657

0,750

0,830

0,895

0,947

0,983

0,999

                 

10

0,370

0,505

0,612

0,703

0,782

0,850

0,907

0,953

0,985

0,999

                

11

0,343

0,470

0,573

0,661

0,738

0,807

0,866

0,917

0,958

0,986

1

               

12

0,319

0,440

0,538

0,623

0,698

0,766

0,826

0,879

0,925

0,962

0,988

1

              

13

0,299

0,413

0,507

0,588

0,661

0,728

0,788

0,842

0,890

0,931

0,965

0,989

1

             

14

0,281

0,390

0,479

0,557

0,628

0,693

0,752

0,806

0,855

0,899

0,936

0,967

0,990

1

            

15

0,265

0,368

0,454

0,529

0,597

0,660

0,718

0,772

0,821

0,866

0,906

0,941

0,970

0,990

1

           

16

0,251

0,349

0,431

0,503

0,569

0,630

0,687

0,740

0,789

0,834

0,875

0,913

0,945

0,972

0,991

1

          

17

0,238

0,332

0,410

0,480

0,544

0,603

0,658

0,710

0,758

0,803

0,845

0,884

0,918

0,949

0,974

0,992

1

         

18

0,226

0,317

0,392

0,459

0,520

0,578

0,631

0,682

0,729

0,774

0,816

0,855

0,891

0,923

0,952

0,975

0,992

1

        

19

0,216

0,302

0,375

0,439

0,499

0,554

0,607

0,656

0,702

0,747

0,788

0,827

0,864

0,897

0,928

0,954

0,977

0,992

1

       

20

0,206

0,289

0,359

0,421

0,479

0,533

0,583

0,631

0,677

0,720

0,762

0,800

0,837

0,871

0,903

0,932

0,957

0,978

0,993

1

      

21  0,197 0,277 0,344 0,405 0,460 0,512 0,562 0,609

0,653

0,696

0,736

0,775

0,811

0,846

0,878

0,908

0,935 0,959

0,979

0,993

1

22  0,189 0,266 0,331 0,389 0,443 0,494 0,542 0,587

0,631

0,673

0,712

0,750

0,787

0,821

0,854

0,884

0,913 0,938

0,961

0,980

0,994

1

23  0,182 0,256 0,319 0,375 0,427 0,476 0,523 0,567

0,610

0,651

0,690

0,727

0,763

0,797

0,830

0,861

0,890 0,917

0,941

0,963

0,981

0,994

1

24  0,175 0,247 0,307 0,362 0,412 0,460 0,505 0,549

0,590

0,630

0,668

0,705

0,741

0,775

0,807

0,838

0,867 0,895

0,921

0,944

0,965

0,982

0,994

1

25  0,169 0,238 0,296 0,349 0,398 0,445 0,489 0,531

0,572

0,611

0,648

0,684

0,719

0,753

0,785

0,816

0,845 0,873

0,899

0,924

0,946

0,966

0,982

0,994

1

 

26  0,163 0,230 0,286 0,338 0,385 0,430 0,473 0,515

0,554

0,592

0,629

0,664

0,699

0,732

0,764

0,794

0,824 0,852

0,879

0,904

0,927

0,948

0,967

0,983

0,995

1

 

27  0,157 0,222 0,277 0,327 0,373 0,417 0,459 0,499

0,538

0,575

0,611

0,646

0,679

0,712

0,743

0,774

0,803 0,831

0,858

0,883

0,908

0,930

0,951

0,969

0,984

0,995

1

28  0,152 0,215 0,268 0,317 0,362 0,404 0,445 0,484

0,522

0,558

0,594

0,628

0,661

0,693

0,724

0,754

0,783 0,811

0,838

0,864

0,888

0,911

0,933

0,952

0,970

0,984

0,995

1

29  0,147 0,208 0,260 0,307 0,351 0,393 0,432 0,470

0,507

0,543

0,577

0,611

0,643

0,675

0,705

0,735

0,764 0,791

0,818

0,844

0,869

0,892

0,914

0,935

0,954

0,971

0,985

0,995

1

30  0,143 0,202 0,252 0,298 0,341 0,381 0,420 0,457

0,493

0,528

0,562

0,594

0,626

0,657

0,687

0,717

0,745 0,773

0,799

0,825

0,850

0,874

0,896

0,918

0,937

0,956

0,972

0,986

0,995 1

(注)

表中のコンマ (, ) は小数点を表す。


26

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

表 2  n30 のときの割合 の上側の片側信頼限界(続き)

q

=0.995 のときの の値

n

0 1 2 3 4 5 6 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

1

0,995

                         

2

0,930

0,998

                        

3

0,830

0,959

0,999

                       

4

0,735

0,890

0,971

0,999

                      

5

0,654

0,815

0,918

0,978

0,999

                     

6

0,587

0,747

0,857

0,934

0,982

1

                    

7

0,531

0,685

0,798

0,883

0,945

0,985

1

                   

8

0,485

0,632

0,743

0,831

0,901

0,953

0,987

1

                  

9

0,445

0,585

0,693

0,781

0,854

0,914

0,959

0,988

1

                 

10

0,412

0,545

0,649

0,736

0,810

0,872

0,924

0,963

0,990

1

                

11

0,383

0,509

0,609

0,694

0,767

0,831

0,886

0,932

0,967

0,991

1

               

12

0,357

0,478

0,573

0,656

0,728

0,792

0,848

0,897

0,938

0,970

0,992

1

              

13

0,335

0,450

0,542

0,621

0,692

0,755

0,812

0,862

0,906

0,943

0,973

0,992

1

             

14

0,316

0,425

0,513

0,590

0,658

0,721

0,777

0,828

0,874

0,914

0,948

0,975

0,993

1

            

15

0,298

0,402

0,487

0,561

0,628

0,689

0,744

0,795

0,842

0,884

0,920

0,952

0,977

0,993

1

           

16

0,282

0,382

0,463

0,535

0,600

0,659

0,714

0,764

0,811

0,853

0,892

0,926

0,955

0,978

0,994

1

          

17

0,268

0,364

0,442

0,511

0,574

0,631

0,685

0,735

0,781

0,824

0,863

0,899

0,931

0,958

0,980

0,994

1

         

18

0,255

0,347

0,422

0,489

0,550

0,606

0,658

0,707

0,753

0,796

0,836

0,872

0,905

0,935

0,960

0,981

0,995

1

        

19

0,244

0,332

0,404

0,469

0,528

0,582

0,633

0,681

0,727

0,769

0,809

0,846

0,880

0,911

0,939

0,963

0,982

0,995

1

       

20

0,233

0,318

0,388

0,450

0,507

0,560

0,610

0,657

0,701

0,743

0,783

0,820

0,855

0,887

0,916

0,942

0,965

0,983

0,995

1

      

21  0,223 0,305 0,372 0,433 0,488 0,540 0,588 0,634

0,678

0,719

0,758

0,795

0,830

0,862

0,893

0,920

0,945 0,967

0,984

0,995

1

22  0,215 0,293 0,358 0,417 0,470 0,521 0,568 0,613

0,655

0,696

0,735

0,771

0,806

0,839

0,870

0,898

0,924 0,948

0,968

0,985

0,996

1

23  0,206 0,282 0,345 0,402 0,454 0,503 0,549 0,593

0,634

0,674

0,712

0,748

0,783

0,816

0,847

0,876

0,903 0,928

0,950

0,970

0,985

0,996

1

24  0,199 0,272 0,333 0,388 0,438 0,486 0,531 0,574

0,614

0,654

0,691

0,727

0,761

0,794

0,825

0,854

0,882 0,908

0,931

0,953

0,971

0,986

0,996

1

25  0,191 0,262 0,322 0,375 0,424 0,470 0,514 0,556

0,596

0,634

0,671

0,706

0,740

0,772

0,803

0,833

0,861 0,887

0,912

0,934

0,955

0,972

0,987

0,996

1

 

26  0,185 0,253 0,311 0,363 0,410 0,456 0,498 0,539

0,578

0,615

0,652

0,686

0,720

0,752

0,782

0,812

0,840 0,867

0,892

0,915

0,937

0,956

0,973

0,987

0,996

1

 

27  0,179 0,245 0,301 0,351 0,398 0,442 0,483 0,523

0,561

0,598

0,633

0,667

0,700

0,732

0,762

0,792

0,820 0,847

0,872

0,896

0,919

0,940

0,958

0,974

0,988

0,997

1

28  0,173 0,237 0,292 0,340 0,386 0,429 0,469 0,508

0,545

0,581

0,616

0,650

0,682

0,713

0,743

0,772

0,800 0,827

0,853

0,877

0,900

0,922

0,942

0,960

0,975

0,988

0,997

1

29  0,167 0,230 0,283 0,330 0,375 0,416 0,456 0,494

0,530

0,566

0,600

0,632

0,664

0,695

0,725

0,754

0,781 0,808

0,834

0,859

0,882

0,904

0,925

0,944

0,961

0,976

0,989

0,997

1

30  0,162 0,223 0,275 0,321 0,364 0,405 0,443 0,480

0,516

0,551

0,584

0,616

0,647

0,678

0,707

0,736

0,763 0,790

0,815

0,840

0,864

0,886

0,908

0,928

0,946

0,963

0,977

0,989

0,997 1

(注)

表中のコンマ (, ) は小数点を表す。


27

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

表 3  標準正規分布のパーセント点 u

q

q

φ

 (u)

u

q

0, 950

1, 645

0, 975

1, 960

0, 990

2, 326

0, 995

2, 576

(注)

表中のコンマ (, ) は小数点を表す。

図 1

F

分布のパーセント点 


28

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

表 4    分布のパーセント点(図 参照)

ν

1

ν

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

15

20

30

50

1

0,9

        39,9          49,5

        53,6

        55,8

        57,2

        58,2

        58,9

        59,4

      59,9

        60,2

        60,7

        61,2

        61,7

        62,3

        62,7

    63,3

0,95

   161

   200

   216

   225

   230

   234

   237

   239

   241

   242

   244

   246

   248

   250

   252

   254

0,975

   648

   800

   864

   900

   922

   937

   948

   957

   963

   969

   977

   985

   993

  1001

  1008

  1018

0,990

  4052

  5000

  5403

  5625

  5764

  5859

  5928

  5981

  6022

  6056

  6106

  6157

  6209

  6261

  6303

  6366

0,995

 16210

 20000

 21610

 22500

 23060

 23440

 23710

 23930

 24090

 24220

 24430

 24630

 24840

 25040

 25210

 25460

 0,999  405300 500000 540400 562500 576400 585900 592900 598100 602300 605600 610700 615800 620900 626100 630300 636600

2  0,9

    8,53      9,0

    9,16      9,24

    9,29

    9,33

    9,35

    9,37

    9,38      9,39

    9,41

    9,42

    9,44

    9,46

    9,47

    9,49

0,95

   18,5

   19,0

   19,2

   19,2

   19,3

   19,3

   19,4

   19,4

   19,4

   19,4

   19,4

   19,4

   19,4

   19,5

   19,5

   19,5

0,975

   38,5

   39,0

   39,2

   39,2

   39,3

   39,3

   39,4

   39,4

   39,4

   39,4

   39,4

   39,4

   39,4

   39,5

   39,5

   39,5

0,990

   98,5

   99,0

   99,2

   99,2

   99,3

   99,3

   99,4

   99,4

   99,4

   99,4

   99,4

   99,4

   99,4

   99,5

   99,5

   99,5

0,995

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

  199

0,999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

  999

3

0,9

5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,17 5,15 5,13

0,95

10,1  9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,62 8,58 8,53

0,975  17,4 16,0 15,4 15,1 14,9 14,7 14,6 14,5 14,5 14,4 14,3 14,3 14,2 14,1 14,0 13,9

0,990  34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 27,1 26,9 26,7 26,5 26,4 26,1

0,995  55,6 49,8 47,5 46,2 45,4 44,8 44,4 44,1 43,9 43,7 43,4 43,1 42,8 42,5 42,2 41,8

0,999 167 149 141 37  135 133 132 131 130 129 128 127 126 125 125 123

4

0,9

4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,82 3,80 3,76

0,95

7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,75 5,70 5,63

 0,975

12,2

10,6

9,98

9,60

9,36 9,20 3,07 8,96 8,90 8,84 8,75 8,66 8,56 8,46 8,38 8,26

0,990  21,2 18,0 16,7 16,04

15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 14,4 14,2 14,0 13,8 13,7 13,5

0,995  31,3 26,3 24,3 23,2 22,5 22,0 21,6 21,4 21,1 21,0 20,7 20,4 20,2 19,9 19,7 19,3

0,999  74,1 61,2 56,2 53,4 51,7 50,5 49,7 49,0 48,5 48,1 47,4 46,8 46,1 45,4 44,9 44,1

5

0,9

4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,17 3,15 3,10

0,95

6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,50 4,44 4,36

0,975  10,0  8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,52 6,43 6,33 6,23 6,14 6,02

0,990  16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1  9,89 9,72 9,55 9,38 9,24 9,02


29

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

ν

1

ν

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

15

20

30

50

0,995  22,8 18,3 16,5 15,6 14,9 14,5 14,2 14,0 13,8 13,6 13,4 13,1 12,9 12,7 12,5 12,1

0,999  47,2 37,1 33,2 31,1 29,8 28,8 28,2 27,6 27,2 26,9 26,4 25,9 25,4 24,9 24,4 23,8

6

0,9

3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,80 2,77 2,72

0,95

5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,81 3,75 3,67

0,975

8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,37 5,27 5,17 5,07 4,98 4,85

 0,990

13,7

10,9

9,78

9,15

8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,56 7,40 7,23 7,09 6,88

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7

0,9

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0,95

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0,975

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8

0,9

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0,95

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0,975

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9

0,9

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0,95

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0,975

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10

0,9

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30

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

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1

ν

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11

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0,95

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0,975

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12

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0,95

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0,975

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0,990

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13

0,9

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0,95

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0,975

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0,990

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14

0,9

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0,975

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31

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

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ν

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 0,999

16,6

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 0,999

16,1

11,0

9,01

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17

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0,975

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 0,990

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 0,999

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18

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 0,999

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19

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0,975

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0,990

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0,995  10,1  7,09 5,92 5,27 4,85 4,56 4,34 4,18 4,04 3,93 3,76 3,59 3,40 3,21 3,04 2,78


32

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

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ν

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15

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30

50

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0,975

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0,990

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0,995

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0,999  14,8  9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,69 5,44 5,24 5,08 4,82 4,56 4,29 4,00 3,77 3,38

21

0,9

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0,95

4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,18 2,10 2,01 1,94 1,81

0,975

5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,97 2,87 2,80 2,73 2,64 2,53 2,42 2,31 2,21 2,04

0,990

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0,995

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0,999  14,6  9,77 7,94 6,95 6,32 5,88 5,56 5,31 5,11 4,95 4,70 4,44 4,17 3,88 3,64 3,26

22

0,9

2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,86 1,81 1,76 1,70 1,65 1,57

0,95

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0,975

5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,93 2,84 2,76 2,70 2,60 2,50 2,39 2,27 2,17 2,00

0,990

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0,995

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23

0,9

2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,84 1,80 1,74 1,69 1,64 1,55

0,95

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0,975

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0,990

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0,995

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24

0,9

2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,83 1,78 1,73 1,67 1,62 1,53

0,95

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0,975

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33

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

ν

1

ν

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24

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0,995

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25

0,9

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0,95

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0,975

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0,990

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0,995

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30

0,9

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0,95

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0,975

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0,990

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0,995

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35

0,9

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0,95

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 0,975

5,48

4,11

3,52

3,18

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0,990

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0,995

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0,999  10,9  8,47 6,79 5,88 5,30 4,89 4,59 4,36 4,18 4,03 3,79 3,55 3,29 3,02 2,78 2,38

40

0,9

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0,95

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0,975

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0,990

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0,995

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45

0,9

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34

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

ν

1

ν

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 0,990

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0,995

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50

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0,95

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0,975

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0,995

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60

0,9

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0,95

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0,975

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0,995

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80

0,9

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 0,95

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3,11

2,72

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100

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0,995

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35

Z 904

1-3 :

1999

 (ISO

 1

145

3 : 
1996)

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ν

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15

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50

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0,990

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0,999  11,4  7,32 5,78 4,95 4,42 4,04 3,77 3,55 3,38 3,24 3,02 2,78 2,53 2,26 2,02 1,54

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2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63 1,60 1,55 1,49 1,42 1,34 1,26 1,00

0,95

3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,75 1,67 1,57 1,46 1,35 1,00

0,975

5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,29 2,19 2,11 2,05 1,94 1,83 1,71 1,57 1,43 1,00

0,990

6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,18 2,04 1,88 1,70 1,52 1,00

0,995

7,88 5,30 4,28 3,72 3,35 3,09 2,90 2,74 2,62 2,52 2,36 2,19 2,00 1,79 1,59 1,00

0,999  10,8  6,91 5,42 4,62 4,10 3,74 3,47 3,27 3,10 2,96 2,74 2,51 2,27 1,99 1,73 1,00

備考  −Fa (

ν

1

,

ν

2

)

=1/F (1−

α

) (

ν

2

,

ν

1

)

(

) 表中のコンマ (, ) は小数点を表す。


36

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

表 5  p

1

p

2

である p

1

と p

2

の様々な組み合わせに対して,H

0

 : p

1

p

2

α

0.05 

での片側検定において与えられた検出力 1

β

(=0.9 ; 0.8 又は 0.5)を得 

るための二つのサンプルの共通のサンプルサイズ n

1

n

2

P

1

P

2

0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.9 503

371

184

0.8 89

67

38

232

173

87

0.7 42

34

19

74

56

31

338

249

121

0.6 25

20

12

39

30

17

97

73

37

408

302

143

0.5 18

14

9

25

19

11

47

36

19

111

84

43

445

321

155

0.4 13

11

7

17

13

9

30

23

12

53

41

22

116

85

43

445

321

155

0.3 10

9

6

12

10

6

18

15

9

31

23

12

53

41

22

111

84

43

408

302

143

0.2 8

6

5

10

8

5

12

10

6

18

15

9

30

23

12

47

36

19

97

73

37

338

249

121

0.1 6

5

3

8

6

3

10

8

5

12

10

6

17

13

9

25

19

11

39

30

17

74

56

31

232

173

87

0.05 5

5

3

6

5

3

8

6

5

10

9

6

13

11

7

18

14

9

25

20

12

42

34

19

89

67

38

503

371

184

備考  表の各セルにおいて,上段の数値は 1−

β

=0.9 を与える共通のサンプルサイズ,中段,下段はそれぞれ,1−

β

=0.8, 0.5 の場合である。例えば,もし,p

1

=0.9,  p

2

=0.8 ならば,1−

β

=0.9 にするためには n

1

n

2

=232, 1−

β

=0.8 にするためには n

1

n

2

=173, 1−

β

=0.5 にするためには n

1

n

2

=87 だけ採らなければならない

(注)

表中のコンマ (, ) は小数点を表す。


37

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

表 6  p

1

p

2

である p

1

と p

2

の様々な組み合わせに対して H

0

 : p

1

p

2

α

0.01 

での片側検定において与えられた検出力 1

β

(=0.9 ; 0.8 又は 0.5)を 

得るための二つのサンプルの共通のサンプルサイズ n

1

n

2

P

1

P

2

0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.9

745

   

 583

   

 333

   

0.8

130

344

  

 101

269

  

  61

155

  

0.7 60

108

503

 

  49

86

393

 

  32

52

221

 

0.6 37

56

143

609

  31

46

113

475

  18

27

66

265

0.5 25

35

69

163

667

  20

29

55

129

519

14 18 34 73

285

0.4  18 24 42 77

171

667

16 20 34 60

137

519

10 13 21 35 78

285

0.3  14 18 28 43 77

163

609

12 15 22 35 60

129

475

9 10 13 22 35 73

265

0.2  12 13 18 28 42 69

143

503

9 12 16 22 34 55

113

393

6  8  9 13 21 34 66

221

0.1

9  9 13 18 24 35 56

108

344

8  9 12 15 20 29 46 86

269

6  6  8 10 13 18 27 52

155

0.05

8  9 12 14 18 25 37 60

130

745

6  8  9 12 16 20 31 49

101

583

5 6 6 9

10

14

18

32

61

333

備考  表の各セルにおいて,上段の数値は 1−

β

=0.9 を与える共通のサンプルサイズ,中段,下段はそれぞれ,1−

β

=0.8, 0.5 の場合である。例えば,もし,p

1

=0.9, p

2

=0.8 ならば,1−

β

=0.9 にするためには n

1

n

2

=344 単位採

らなければならないが,1−

β

=0.5 にするためには n

1

n

2

=155 だけでよい。

(注)

表中のコンマ (, ) は小数点を表す。


38

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

備考

もし,p<0.01 ならば 尺上で の代わりに

λをマークし,尺の値をλ倍する。λは 0.01/

次に大きな整数に丸めて求める。

(注)

表中のコンマ (, ) は小数点を表す。

図 2  項分布のラーソン (Larson) のノモグラフ 


39

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

附属書 A(規定)  書式 による検定の検定特性の計算

A.1

  H

0

 : p

p

0

の片側検定

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

与えられた値 p

0

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ:n

検出力を計算したい対立仮説における割合:p’= 
もし,選択した有意水準

α

における 及び p

0

に対応する棄却限界値が未知ならば,書式 によって計算する。

C

l, o

H

0

を棄却しない確率 P

α

と結果して得られる値の求め方:

もし,H

0

が真ならば,第 1 種の誤りの確率は 1−P

α

になる。達成される有意水準 a’は p’p

0

のとき,第 1 種の誤り

の確率と等しくなる。 
もし,対立仮説が真ならば,第 2 種の誤りの確率は P

α

になる。

計算:

(

)

(

)

(

)

[

]

=

+

=

p

C

n

p

C

u

o

l

o

l

,

,

1

1

2

表 の値を読む:

Φ (u’)  =

結果:

P

α

=1−

Φ (u’)  =

もし,p’p

0

ならば

α

Φ (u’)  =

もし,p’p

0

ならば

β

=1−

Φ

 (u’)


40

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

A.2

  H

0

 : p

p

0

の片側検定

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

与えられた値 p

0

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ:n

検出力を計算したい対立仮説における割合:p´= 
もし,選択した有意水準

α

における 及び p

0

に対応する棄却限界値が未知ならば,書式 によって計算する。

C

u, o

H

0

を棄却しない確率 P

α

と結果として得られる値の求め方:

もし,H

0

が真ならば,第 1 種の誤りの確率は 1−P

α

になる。達成される有意水準

α

は p’p

0

のとき,第 1 種の誤り

の確率と等しくなる。 
もし,対立仮説が真ならば,第 2 種の誤りの確率は P

a

になる。

計算:

(

)

(

)

[

]

=

+

=

′′

p

C

n

p

C

u

o

u

o

u

1

1

2

,

,

表 の値を読む:

Φ (u’’)  =

結果:

P

a

Φ (u’’)  =

もし,p’p

0

ならば

α

=1−

Φ

 (u’’)

もし,p’p

0

ならば

β

Φ (u’’)  =


41

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

A.3

  H

0

 : p

p

0

の両側検定

特性: 
測定方法: 
アイテム:

該当アイテムの識別基準: 
備考:

与えられた値 p

0

選択した有意水準:

α

サンプルサイズ:n

検出力を計算したい対立仮説における割合:p´= 
もし,選択した有意水準

α

における 及び p

0

に対応する棄却限界値が未知ならば,書式 によって計算する。

C

l, t

C

u, t

H

0

を棄却しない確率 P

α

と結果として得られる値の求め方:

もし,H

0

が真ならば,第 1 種の誤りの確率は 1−P

α

になる。達成される有意水準

α

は p’p

0

のとき,第 1 種の誤り

の確率と等しくなる。 
もし,対立仮説が真ならば,第 2 種の誤りの確率は P

α

になる。

計算:

(

)

(

)

(

)

[

]

=

+

=

p

C

n

p

C

u

t

l

t

l

,

,

1

1

2

(

)

(

)

[

]

=

+

=

′′

p

C

n

p

C

u

t

u

t

u

1

1

2

,

,

表 の値を読む:

Φ (u’)  =

Φ (u’’)  =

結果:

P

α

Φ (u’’)  −Φ (u’)  =

もし,p’p

0

ならば  d’=1−

Φ (u’’)  +Φ (u’)  =

もし,p’p

0

ならば

β

Φ (u’’)  −Φ (u’)  =


42

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

附属書 B(参考)  書式の使用例

B.1

書式 

B.1.1

例 1

:書式 A-2  −片側,割合 の信頼区間の下限

特性:家庭にビデオレコーダを保有している

測定方法:インタビュー 
アイテム:ある地域の家庭 
該当アイテムの識別基準:最低 1 台のビデオレコーダを保有している

備考:

選択した信頼係数:1−

α

=0.95

サンプルサイズ:n=20 
サンプルにおける該当アイテムの数:x=14

信頼限界の決定:

a)  n

≦30 のときの方法

×

1)  x

=0 の場合

p

lo

=0

2)  x

>0 の場合

×

既知の値 nX

n

及び q=1−

α

に対する

表 の値を読む。

T

 (1-

α

)

 (nn

x)  =0.508

計算:

p

l, o

=1−T

 (1-

α

)

 (nn

x)  =0.492

b)  n

>30 のときの方法

1)  x

=0 の場合

p

lo

=0

2)  x

の場合

計算:

p

lo

α

1/n

3)  0

xの場合

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

選択した信頼係数に対応する の値を読む。

計算:

p

*

x/ (n+1)

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

(

)

=

+

+

+

+

=

1

/

1

/

1

1

1

/

2

1

*

*

1

*

*

,

n

n

d

p

p

u

n

d

p

p

p

o

l

α

結果:

p

l, o

=0.492  

p


43

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

B.1.2

例 2

:書式 A-3  −割合 の両側信頼区間

特性:家庭にビデオレコーダを保有している 
測定方法:インタビュー 
アイテム:ある地域の家庭

該当アイテムの識別基準:最低 1 台のビデオレコーダを保有している 
備考:

選択した信頼係数:1−

α

=0.99

サンプルサイズ:n=90 
サンプルにおける該当アイテムの数:x=19

信頼限界の決定:

a)  n

≦30 のときの方法

1)

上側信頼限界

−  xの場合

p

ut

=1

−  xの場合

既知の値 nX及び q=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む。

(この値が信頼限界である。

T

 (1-

α

/2)

 (nx)

p

u, t

2)

下側信頼限界

−  x=0 の場合

p

lt

=0

−  x>0 の場合

既知の値 nXn及び q=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む。

T

 (1-

α

/2)

 (nn

x)  =

計算:

p

l, t

=1−T

 (1-

α

/2)

 (nn

x)  =

b)  n

>30 のときの方法

×

1) 

上側信頼限界

−  x=0 の場合

計算:

p

u, t

=1−(

α

/2

1/n

−  xの場合

p

u, t

=1

−  0<xの場合

×

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:u

1-

α/2

=2.576

選択した信頼係数に対応する の値を読む。

計算:

p

*

=  (x+1) / (n+1)

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

(

)

=

+

+

+

+

+

=

1

/

1

/

1

1

1

/

2

1

*

*

2

/

1

*

*

,

n

n

d

p

p

u

n

d

p

p

p

t

u

α

0.341


44

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

2)

下側信頼限界

−  x=0 の場合

p

l, t

=0

−  xの場合

計算:

p

l, t

=(

α

/2

1/n

−  0<xの場合

×

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

/2

=2.576

選択した信頼係数に対応する の値を読む。

計算:

p

*

x/ (n+1)

(

) (

)

(

(

) (

)

[

]

(

)

=

+

+

+

+

=

1

/

1

/

1

1

1

/

2

1

*

*

2

/

1

*

*

,

n

n

d

p

p

u

n

d

p

p

p

t

l

α

0.111

結果:

p

l, t

=0.111;

p

u, t

=0.341;

p

l, t

pp

u, t


45

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

B.2

書式 B

B.2.1

例 1

:書式 B-2  −H

0

 : p

p

0

の片側検定を用いた割合 と与えられた値 p

0

との比較

特性:家庭にビデオレコーダを保有している

測定方法:インタビュー 
アイテム:ある地域の家庭 
該当アイテムの識別基準:最低 1 台のビデオレコーダを保有している

備考:

与えられた値 p

0

=0.48

選択した有意水準:

α

=0.05

サンプルサイズ:n=20 
サンプルにおける該当アイテムの数:x=14

検定方法:

I

  棄却限界値が既知である(7.2.1 参照及び

適用可能ならば次に棄却限界値の決定)

C

u, o

もし,xC

u, o

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

II

  棄却限界値が未知である:

×

a)  x

p

0

n

の場合

H

0

は棄却しない。

b)  x

p

0

n

の場合

×

1)  n

≦30 のときの方法

×

n

及び信頼係数 (1−

α

)

に対する片側の下側信頼限界を

書式 A-2 に従い求める:

p

l, o

=0.492

もし,p

l, o

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

2)  n

>30 のときの方法

−  xの場合

計算:

p

l, o

α

1/n

=  [書式 A-2 b)2)参照]

もし,p

l, o

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

−  0<xの場合

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:u

1-a

=

計算:

(

) (

)

[

]

=

+

=

0

0

2

1

1

2

p

x

n

p

x

u

もし,u

2

u

1-

α

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

検定結果:

H

0

を棄却する

×

H

0

を棄却しない

棄却限界値の決定:

C

u, o

は,書式 B.2

II による検定で帰無仮説を棄却しない最大の整数 である。C

u, o

は,の異なる値に対して書式

B.2

II を繰り返し適用することをとおして繰り返し求められる(

1

)

。それゆえ,お互いに 1 ずつ異なる の値に対し

て決められ,そのうちの一つは帰無仮説の棄却し,他のものは棄却しない。もし,望めば についての出発値 x

start

を次のように求めることができる。

計算:

np

0

を次の整数に丸めたものが x*=10

p

u, o|x

x

*

=0.699

p

u, 0|x

x

*

は書式 A-1 から求められる)

np

u, o|x

x

*

を次の整数に丸めたものが x

start

=14

書式 B.1

II の検定結果の解釈:

x

C

u. o

=13

のとき,H

0

を棄却しない。

x

C

u, o

+1=14

のとき,H

0

を棄却する。


46

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

結果:

C

u, o

=13

(

1

)

サンプルサイズ がたいへん小さいとき,及び/又は p

0

が極端な値のとき,棄却限界値は存在しない。


47

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

B.2.2

例 2

:書式 B-3  −H

0

 : p

p

0

の両側検定を用いた割合 と与えられた値 p

0

との比較

特性:家庭にビデオレコーダを保有している 
測定方法:インタビュー 
アイテム:ある地域の家庭

該当アイテムの識別基準:最低 1 台のビデオレコーダを保有している 
備考:

与えられた値 p

0

=0.33

選択した有意水準:

α

=0.01

サンプルサイズ:n=90

サンプルにおける該当アイテムの数:x=19

検定方法:

I

  棄却限界値が既知である(7.2.1 参照及び

適用可能ならば次に棄却限界値の決定)

C

l, t

C

u, t

もし,xC

l, t

又は xC

u, t

ならば H

0

は棄却;

そうでなければ棄却しない。

II

  棄却限度値が未知である:

×

a)  n

≦30 のときの方法

n

及び信頼係数 (1−

α

)

に対する両側信頼限界を

書式 A-3 に従い求める:

p

l, t

p

u, t

もし,p

l, t

p

0

又は p

u, t

p

0

ならば H

0

を棄却;

そうでなければ棄却しない。

b)  n

>30 のときの方法

×

1)  x

=0 の場合

計算:

p

u, t

=1−  (

α

/2)

1/n

もし,p

u, t

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

2)  x

の場合

計算:

p

l, t

=(

α

/2

1/n

もし,p

l, t

p

0

ならば H

0

を棄却;そうでなければ棄却しない。

3)  0

xの場合

×

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:u

1-a/2

=2.576

計算:

(

)

(

)(

)

[

]

=

+

=

0

0

1

1

1

2

p

x

p

x

n

u

2.359 707

(

) (

)

[

]

=

+

=

0

0

2

1

1

2

p

x

n

p

x

u

−2.613 021

もし,u

1

u

1-

α

/2

又は u

2

u

1-

α

/2

ならば H

0

を棄却;

そうでなければ棄却しない。


48

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

検定結果:

H

0

を棄却する

H

0

を棄却しない

×

棄却限界値の決定: 
書式 B-3

II による検定で H

0

を棄却しない最小の非負の整数 が C

l,t

で,最大の整数が C

u,t

である。C

l,t

及び C

u,t

は,

x

の異なる値に対して書式 B-3

II を繰り返し適用することを通して繰り返し求められる(

1

)

。それゆえ,それぞれの

組で,お互いに 1 ずつ値が異なり,一方では帰無仮説を棄却し,他方では棄却しないように決められる。もし,望
めば,についての出発値 X

start

を次のように求めることができる。

計算:

np

0

を次の整数に丸めたものが x*=30

p

l, t|x

x

*

=0.210

p

u, t|x=x

*

=0.473

p

l, t|x=x

*

及び p

u, t

|

x=x

*

は書式 A-3 から求められる。

np

l, t|x=x

*

を次の整数に丸めたものが x

start

 (lower)

=19

np

u, t|x=x

*

を次の整数に丸めたものが x

start

 (upper)

=43

書式 B-3

II の検定結果の解釈:

x

C

l, t

−1=18

のとき,H

0

を棄却する。

x

C

l, t

=19

から xC

u, t

=42

のとき,H

0

を棄却しない。

x

C

u, t

+1=43

のとき,H

0

を棄却する。

結果:

C

l, t

=19

C

u, t

=42

(

1

)

サンプルサイズ がたいへん小さいとき,及び/又は p

0

が極端な値のとき,棄却限界値は存在しない。


49

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

B.3

書式 C

B.3.1

例 1

:書式 C-1  −H

0

 : p

1

p

2

の片側検定を用いた二つの割合の比較

特性:家庭にビデオレコーダを保有している

測定方法:インタビュー 
アイテム:

1)

地域 A の家庭

2) 

地域 B の家庭

該当アイテムの識別基準:最低 1 台のビデオレコーダを保有している 
備考:

選択した有意水準:

α

=0.05

サンプル 1 の大きさ:n

1

=10

サンプル 2 の大きさ:n

2

=15

サンプル 1 における該当アイテムの数:x

1

=8

サンプル 2 における該当アイテムの数:x

2

=13

自明なケースの検討:

2

2

1

1

n

x

n

x

が真である

が真でない

×

真の場合,帰無仮説は棄却されず,検定結果を直ちに得ることができる。 
そうでなければ,次の方法で H

0

を棄却するか否かを決める。

自明でないケースの検定方法: 
もし,n

1

n

2

,  (n

1

n

2

)

,  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

のうち少なくても一つが  (n

1

n

2

) /4

以下であるならば,2 項近似(I)を

適用すべきである;そうでなければ正規近似(II)を適用しなければならない。しかし,たとえ上記の条件が満たされ

たとしても,次の二つの条件が満たされれば,正規近似を適用することができる: 
−  2 項近似を適用する際に,分布表での内挿が必要である。 
−  n

1

と n

2

の値が同程度であるもしくは  (x

1

x

2

)

と  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

の値が同程度である。

決定:

2

項近似を適用する(へ進む)

×

正規近似を適用する(II へ進む)

I

  2

項近似 

補助変数:K

1

K

2

η

1

η

2

の決定:

もし,

n

2

n

1

かつ n

2

<  (x

1

x

2

)

]又は[(n

1

n

2

x

1

x

2

)

n

1

かつ  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

<  (x

1

x

2

)

]ならば,補助変数

を次のように決定する。

η

1

n

2

=15

η

2

n

1

=10

K

1

n

2

x

2

=2

K

2

n

1

x

1

=2

そうでなければ,次のように決定する。

η

1

n

1

η

2

n

2

K

1

x

1

K

2

x

2

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

I

  a)

η

1

K

1

K

2

の場合

(

)(

)

(

)(

)

=

+

+

+

+

=

1

2

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

1

1

2

K

K

K

K

K

K

F

η

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (K

1

+1)  =

ν

2

=2 (

η

1

K

1

)

q

=1−

α

,

ν

1

,

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-a)

 (

ν

1

,

ν

2

)


50

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

I

  b) 

η

1

K

1

K

2

の場合

×

(

)

(

)(

)

1

456

982

,

0

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

=

+

+

=

K

K

K

K

F

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (K

1

+1)  =6

ν

2

=2K

2

=4

q

=1−

α

,

ν

1

,

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-a)

(

ν

1

,

ν

2

)

=6.16

2

項近似の場合の自明でないケースの結論:

F

2

F

 (1-

α

)

 (

ν

1

,

ν

2

)

ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

II

正規近似 

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

(

) (

(

)

(

)(

) (

)

=

+

+

+

+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

/

2

/

1

n

n

x

x

n

n

x

x

n

n

n

n

x

x

x

n

z

q

=1−

α

に対する

表 の値を読む:u

1-

α

正規近似の場合の自明でないケースの結論:

z

2

u

1-

α

ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

検定結果:

H

0

を棄却する。

H

0

を棄却しない。

×


51

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

B.3.2

例 2

:書式 C-3  −H

0

 : p

1

p

2

の両側検定を用いた二つの割合の比較

特性:

1)

家庭にブランド A のビデオレコーダを保有している

2)

家庭にブランド B のビデオレコーダを保有している

測定方法:インタビュー 
アイテム:ある地域の家庭 
該当アイテムの識別基準:

1) 

最低 1 台のブランド A のビデオレコーダを保有している 

2) 

最低 1 台のブランド B のビデオレコーダを保有している

備考:

選択した有意水準:

α

=0.01

サンプル 1 の大きさ:n

1

=95

サンプル 2 の大きさ:n

2

=95

サンプル 1 における該当アイテムの数:x

1

=41

サンプル 2 における該当アイテムの数:x

2

=21

自明なケースの検討:

2

2

1

1

n

x

n

=

が真である

が真でない

×

真の場合,帰無仮説は棄却されず,検定結果を直ちに得ることができる。

そうでなければ,次の方法で H

0

を棄却するか否かを決める。

自明でないケースの検定方法: 
もし,n

1

n

2

 (x

1

x

2

)

,  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

のうち少なくても一つが  (n

1

n

2

) /4

以下であるならば,2 項近似(I)を適用

すべきである。そうでなければ正規近似(II)を適用しなければならない。しかし,たとえ上記の条件が満たされたと
しても,次の二つの条件が満たされれば,正規近似を適用することができる: 
−  2 項近似を適用する際に,分布表での内挿が必要である。

−  n

1

と n

2

の値が同程度である又は  (x

1

x

2

)

と  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

の値が同程度である。

決定:

2

項近似を適用する(へ進む)

正規近似を適用する(II へ進む)

×

I

  2

項近似 

変数:K

1

K

2

η

1

η

2

の決定:

もし,

n

2

n

1

かつ n

2

<  (x

1

x

2

)

]又は[(n

1

n

2

x

1

x

2

)

n

1

かつ  (n

1

n

2

x

1

x

2

)

<  (x

1

x

2

)

]ならば,変数を次

のように決定する。

η

1

n

2

η

2

n

1

K

1

n

2

x

2

K

2

n

1

x

1

そうでなければ,次のように決定する。

η

1

n

1

η

2

n

2

K

1

x

1

K

2

x

2


52

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

I

  a) 

η

1

K

1

K

2

の場合

1) 

2

2

1

1

η

η

K

>

の場合

次のように,F

1

ν

1

及び

ν

2

を求める:

(

)

(

)(

)

=

+

+

+

+

=

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

1

1

K

K

K

K

K

K

F

η

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (

η

1

K

1

+1)  =

ν

2

=2K

1

q

=1−

α

/2

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-a/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2)

2

2

1

1

η

η

K

K

の場合

次のように,F

2

ν

1

及び

ν

2

を求める:

(

)(

)

(

)(

)

=

+

+

+

+

=

1

2

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

1

1

2

K

K

K

K

K

K

F

η

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (K

1

+1)  =

ν

2

=2 (

η

1

K

1

)

q

=1−

α

/2,

ν

1

,

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-a/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

I

  b)

η

1

K

1

K

2

の場合

1)

2

2

1

1

η

η

K

>

の場合

次のように,F

1

ν

1

及び

ν

2

を求める:

(

)

(

)(

)

=

+

+

=

1

2

1

2

1

1

2

2

2

1

1

K

K

K

K

F

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (K

2

+1)  =

ν

2

=2K

1

q

=1−

α

/2

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F

 (1-a/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2)

2

2

1

1

η

η

K

K

の場合

次のように,F

2

ν

1

及び

ν

2

を求める:

(

)

(

)(

)

=

+

+

=

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

K

K

K

K

F

η

η

F

分布の自由度:

ν

1

=2 (K

1

+1)  =

ν

2

=2K

2

q

=1−

α

/2

ν

1

ν

2

に対する

表 の値を(必要ならば内挿して)読む:

F<

 (1-a/2)

 (

ν

1

,

ν

2

)

2

項近似の場合の自明でないケースの結論:

2

2

1

1

η

η

K

>

の場合:  F

1

F (1−

α

/2) (

ν

1

,

ν

2

)

2

2

1

1

η

η

K

K

の場合:  F

2

F (1−

α

) (

ν

1

,

ν

2

)

ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。


53

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

II

正規近似

検定統計量の計算と表からの値の求め方:

a)

2

2

1

1

n

x

n

>

の場合

×

次のように,z

1

を求める:

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

=

+

+

+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

1

/

2

/

1

n

n

x

x

n

n

x

x

n

n

x

x

n

n

n

x

z

z

1

=2.94

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:

u

 (1-

α

/2)

=2.576

b)

2

2

1

1

n

x

n

x

の場合

次のように,z

2

を求める:

(

) (

(

)

(

)(

) (

)

=

+

+

+

+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

/

2

/

1

n

n

x

x

n

n

x

x

n

n

n

n

x

x

x

n

z

q

=1−

α

/2

に対する

表 の値を読む:

u

1-

α

/2

正規近似の場合の自明でないケースの結論:

2

2

1

1

n

x

n

>

の場合:

z

1

u

1-

α

/2

2

2

1

1

n

x

n

x

の場合:

z

2

u

1-

α

/2

ならば,H

0

を棄却する。そうでなければ,棄却しない。

検定結果:

H

0

を棄却する。

×

H

0

を棄却しない。


54

Z 9041-3 : 1999 (ISO 11453 : 1996)

附属書 C(参考)  参考文献

[1]

  Walters, D.E., In defense of the arc sine approximation The Statistician, 28, 1979, pp.219-222.

[2]

  Haseman, J.K., Exact sample sizes for use with the Fisher

−Irwin test for 2×2 tables. Biometrics, 34 (1978)

pp.106-109.

品質管理分野国際整合化分科会

(主査)

尾  島  善  一

東京理科大学理工学部

(委員)

青  木  茂  雄

財団法人日本科学技術連盟

今  井  秀  孝

工業技術院軽量研究所

柿  田  和  俊

社団法人日本鉄鋼連盟

加  藤  洋  一 QC コンサルタント

門  山      允

元東京国際大学(故人)

兼  子      毅

武蔵工業大学

椿      広  計

筑波大学社会工学系

仁  科      健

名古屋工業大学工学部

野  澤  昌  弘

東京理科大学経営学部

三佐雄  武  雄 QC コンサルタント

宮  津      隆

帝京科学大学理工学部

山  田      秀

東京理科大学工学部

岸  本  淳  司

株式会社 SAS インスティチュートジャパン

横  尾  恒  雄 QC コンサルタント

大  島  清  治

工業技術院標準部

(事務局)

竹  下  正  生

財団法人日本規格協会

安  田  順  子

財団法人日本規格協会