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Z 9041-2 : 1999

(1) 

まえがき

この規格は,工業標準化法に基づいて,日本工業標準調査会の審議を経て,通商産業大臣が制定した日

本工業規格である。これによって,JIS Z 9042 : 1962,JIS Z 9043 : 1962,JIS Z 9044 : 1962,JIS Z 9045 : 1962,

JIS Z 9046 : 1965

JIS Z 9047 : 1979,JIS Z 9048 : 1979,JIS Z 9049 : 1965,JIS Z 9050 : 1963,JIS Z 9051 :

1963

JIS Z 9052 : 1963,JIS Z 9053 : 1963,JIS Z 9054 : 1966,JIS Z 9055 : 1966,JIS Z 9056 : 1979,JIS Z 

9057 : 1966

JIS Z 9058 : 1966,JIS Z 9059 : 1966 は廃止され,この規格に置き換えられる。

今回の改正では,1976 年に第 1 版として発行された ISO 2854 を基礎として用いた。

JIS Z 9041-2

には,次に示す附属書がある。

附属書 A(規定)  統計数値表

JIS Z 9041 : 1998

は,一般名称を“データの統計的な解釈方法”として,次の各部によって構成される。

第 1 部:データの統計的記述

第 2 部:平均と分散に関する検定方法と推定方法

第 3 部:割合に関する検定方法と推定方法

第 4 部:平均と分散に関する検定方法の検出力


Z 9041-2 : 1999

(1) 

目次

ページ

序文

1

1.

  適用範囲

1

2.

  引用規格

2

3.

  定義・記号

2

4.

  確率変数の平均(,分散(2 の推定

2

5.

  正規分布に従う確率変数の期待値及び分散に関する仮説の検定

3

6.

  正規分布に従う確率変数の期待値及び分散の信頼限界

4

7.

  数値例

4

8.

  書式

5

附属書 A(規定)  統計数値表

43


日本工業規格

JIS

 Z

9041-2

 : 1999

データの統計的な解釈方法−

第 2 部:平均と分散に関する

検定方法と推定方法

Statistical Interpretation of Data

Part 2 : Techniques of estimation and test relating to

means and variances

序文  この規格は,1976 年に第 1 版として発行された ISO 2854 : 1976  Statistical interpretation of data−Tech

niques of estimation and test relating to means and variances, ISO 2602 : 1980

  Statistical interpretation of test

results

−Estimation of the mean−Confidence interval を基礎として作成した日本工業規格である。ただし,現

在進行中の ISO/TC 69/SC 3/WG 3 による ISO 2854 の改訂作業方針で,これに ISO 2602 : 1980 及び ISO 

3301 : 1975 Statistical interpretation of data

−Comparison of two means in the case of paired observations を統合す

ることが決定されているため,この規格には ISO 2602 : 1980 及び ISO 3301 : 1975 の技術的内容を含めた。

1.

適用範囲

1.1

この規格は,次の統計的な取り扱いに必要な方法について規定する。

a)

確率変数の平均(期待値)又は分散の信頼区間を定める。

b)

確率変数の平均又は分散の値に関する仮説をサンプルによって検定する。

1.2

これらの方法は,測定値が互いに独立な観測から生じたとみなせる場合にだけ有効である。

有限母集団の場合には,データが独立とみなし得るときに適用できる。これは有限母集団に比べてサン

プルサイズが十分に小さければ成立する。経験則から,サンプルサイズが母集団の大きさの 1/10 より小さ

いことが望ましいといわれている。

1.3

これらの方法の適用に当たっては,確率変数は正規分布に従うと仮定する。対象としているデータ

の集団に関する広はん(汎)な経験からこの仮定が実証可能な場合には,確率変数は正規分布に従うとみ

なすことができる。確率変数が正規分布に従うことを検討する方法は,JIS Z 9041-1 又は ISO 5479 : 1997

による。

なお,サンプルに基づかない外的な情報に基づいて正規性の仮説を認める場合もある。正規性の仮説が

棄却された場合には,この規格の方法は用いない方がよい。しかし,正規性の仮説が棄却されなかったか

らといって,確率変数が正規分布に従っている保証はない。確率紙を用いれば,正規性に関するグラフィ

カルな検討が可能であり,正規分布からのずれが大きくなれば非正規性を明らかにすることができよう。

確率紙による方法の適用は,正規分布からのずれのタイプを識別できることもあるので,正規分布の数値

的検討の補助として位置づけられる。


2

Z 9041-2 : 1999

確率変数の正規性が疑われる場合は,この規格の方法を用いずに,正規性の仮定を必要としない方法を

用いることが望ましい。

一方,確率変数の期待値

µ

や分散

σ

2

の不偏推定量として, や S

2

を用いる際には正規性の仮定は必要と

しない。

2.

引用規格  次に掲げる規格は,この規格に引用されることによって,この規格の規定の一部を構成す

る。これらの引用規格は,その最新版(追補を含む)を適用する。

JIS Z 8101-1

  統計−用語と記号−第 1 部:確率及び一般統計用語

備考  ISO 3534-1 : 1993  Statistics−Vocabulary and symbols−Part 1 : Probability and general statistical

terms

からの引用事項は,この規格の該当事項と同等である。

JIS Z 9041-1

  データの統計的な解釈方法−第 1 部:データの統計的記述

JIS Z 9041-4

  データの統計的な解釈方法−第 4 部:平均と分散に関する検定方法の検出力

ISO 5479 : 1997

  Statistical interpretation of data−Tests for departure from the normal distribution

3.

定義・記号

3.1

用語の定義  この規格で用いる主な用語の定義は,JIS Z 8101-1 によるほか,次による。

a)

標準化正規変量  正規分布に従う確率変数を標準化して得られる確率変数。

3.2

記号  この規格で用いる主な記号は,JIS Z 8101-1 によるほか,次による。

x

  測定値

U

  標準化正規変量

u

α

  標準正規分布の 100

α

%

点(下側確率)

t

a

 (

ν

)

  自由度 の 分布の 100

α

%

点(下側確率)

X

2

α

 (

ν

)

  自由度 の X

2

分布の 100

α

%

点(下側確率)

F (

ν

1

,

ν

2

)

  自由度

ν

1

ν

2

の分散比統計量

F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

  自由度

ν

1

ν

2

の分散比統計量の 100

α

%

点(下側確率)

4.

確率変数の平均

µ

,

分散

σ

2

の推定値 及び s

2

の計算  平均値 及び標本分散 s

2

は,一連の測定値の共通

平均

µ

及び分散

σ

2

の理論的にも実用的にも有用な推定値である。標本標準偏差 は,標準偏差

σ

の有用な推

定値である。

4.1

n

個の測定値 x

i

i=1,

の 及び s

2

の計算は,次による。

å

n

i

i

x

n

x

1

1

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

÷

÷
ø

ö

ç

ç
è

æ

å

å

n

i

n

i

i

i

x

n

x

n

s

1

2

1

2

2

1

1

1

4.2

度数分布において値 x

j

が n

j

回生じる場合  (j=1,

k), 及び s

2

の度数分布からの計算は,次によ

る。


3

Z 9041-2 : 1999

å

k

j

j

n

n

1

å

k

j

j

j

x

n

n

x

1

1

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

÷

÷
ø

ö

ç

ç
è

æ

å

å

k

j

k

j

j

j

j

j

x

n

n

x

n

n

s

1

2

1

2

2

1

1

1

4.3

級分けされた分布からの

x

及び s

2

の計算

  測定値の個数が十分大きく,

例えば 50 個以上の場合には,

データを級(群)に分割するのが適当なこともある。実際,測定値は,事前に級分けされた形式でだけ利

用可能な場合も多い。級の数を とし,級 の中心を x

j

とし,級 に属する測定値の個数を n

j

とすれば,x

及び s

2

4.2

の方法で計算できる。この値は,級分けされていない場合の計算の近似値である。

備考

ここで規定した方法は,データの原点及び/又は単位を変更することによって計算を大幅に減

らすことができる場合が多い。特に,精度の低い電卓又はコンピュータで分散を計算するとき

には,十分な精度を得るために原点を変えることが必要な場合がある。

5.

正規分布に従う確率変数の期待値及び分散に関する仮説の検定

5.1

一般的注意

  正規分布に従う確率変数の平均,期待値及び分散に関する主要な帰無仮説と検定の実

用的計算手順を書式化して

8.

(書式)に示した。これらの手順を適用するためには適切な帰無仮説を選択

する必要がある。対立仮説 H

1

はこの書式に与えられていないが,これは対立仮説は帰無仮説に含まれない

µ,σのすべての値を含むことがあるからである。

例えば,分散既知の状況で,平均を与えられた値と比較するために

書式 A

を用いる際には,次の帰無仮

説のいずれかを対応する対立仮説とともに選ばなくてはならない。

A)

  片側検定 H

0

:

µ≧µ

0

H

1

:

µ<µ

0

B)

  片側検定 H

0

:

µ≦µ

0

H

1

:

µ>µ

0

C)

  両側検定 H

0

:

µ=µ

0

H

1

:

µ≠µ

0

検定の結果は,帰無仮説を棄却するか,棄却できないかのいずれかである。

帰無仮説の棄却は,対立仮説の受容を意味する。一方,帰無仮説を棄却できないことは,必ずしも帰無

仮説を受容することを意味しない。

サンプルサイズ と有意水準

αを定めるためには,検定の OC 関数,すなわち,検出力関数を参考にす

るのが望ましい。この方法については,

JIS Z 9041-4

に示されている。

5.2

平均に関する仮説の処置

書式 AA’

及び

C

C’

並びに

K

K’

は,分散が既知であるか否かによっ

て使い分ける。書式中で,分散

σ

2

が既知の場合には標準正規分布の分位点が,未知の場合には 分布の分

位点が用いられている。ここで規定する方法の適用の便宜を図るため,

α=0.05 及びα=0.01 に対する標準

正規分布の分位点を

附属書 A

表 1

に,分布の分位点の値を

附属書 A

表 2

に示す。

5.3

分散に関する仮説の処置

書式 E

H

まででは,

算術平均が期待値の推定値として用いられている。

算術平均がその期待値で置き換えられる場合には,対応する自由度は 1 増やすことになる。

ここで規定する方法の適用の便宜を図るため,

α=0.05 及びα=0.01 に対する X

2

α

 (

ν),X

2

1

α

 (

ν),X

2

α/2,

 (

ν)

X

2

1

α/2

 (

ν)  の値を

附属書 A

表 3

に,F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

及び F

1

α/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

の値を

附属書 A

表 4

に示す。


4

Z 9041-2 : 1999

なお,F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

及び F

α/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

の値は,関係式

F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

)

,

(

1

1

2

1

ν

ν

α

F

から導出することができる。

6.

正規分布に従う確率変数の期待値及び分散の信頼限界

  この規格では,各検定に対応した信頼限界の

決定法も規定している。

σ,及びσ

1

/

σ

2

の信頼限界は,それぞれ,

σ

2

,並びに

σ

1

2

/

σ

2

2

の信頼限界の平方根か

ら求めることができる。

7.

数値例

7.1

書式 AA’BB’CC’DD’EFGのための例

8

(書式)を参照する。

特性と観測の方法

特性:2 種の糸のサンプルについての切断荷重の測定値データ(単位は N)

観測の方法:正規性及び外れ値に関する検討が事前に行われている。

アイテム:糸 1 は,10 個,糸 2 は 12 個のデータが取られている。

表 1  糸の切断荷重 (N) の測定値

糸 1

糸 2

18.4 18.0

18.8 18.2

19.2 17.0

19.9 18.4

17.2 17.9

20.4 19.6

17.8 17.6

18.2 16.2

19.4 19.0

18.6 16.6

 20.0

 18.0

7.2

書式 KK’LL’のための例

  取り扱いについては,

8

(書式)を参照する。

特性:2 種の糸のサンプルについての水分含有率 (%)

アイテム 1:n=9 の糸のサンプルについて,分析方法 1 で水分含有率を測定。

アイテム 2:アイテム 1 の同一サンプルを分析方法 2 で水分含有率を測定。

表 2  水分含有率 (%) の測定値

アイテム

分析方法 1 による

水分含有率

分析方法 2 による

水分含有率

含有率の差

D

X

i

Y

i

X

i

Y

1

1 18.2

17.0

1.2

2 20.1

19.1

1.0

3 16.4

17.0

−0.6

4 21.5

23.0

−1.5

5 16.5

16.0

0.5

6 17.4

18.1

−0.7

7 20.1

19.3

0.8


5

Z 9041-2 : 1999

アイテム

分析方法 1 による
水分含有率

分析方法 2 による
水分含有率

含有率の差

D

X

i

Y

i

X

i

Y

1

8 16.9

17.6

−0.7

9 19.2

17.3

1.9

8.

書式

  ここでは,次の統計的方法を規定する。各方法は,

書式 AA’BB’CC’DD’EF

G

H

の手順に従って実施するのが望ましい。

a)

与えられた値と平均の比較(分散既知)

手順は,書式 A による。

b)

与えられた値と平均の比較(分散未知)

手順は,書式 A’による。

c)

平均の信頼限界(分散既知)

手順は,書式 B による。

d)

平均の信頼限界(分散未知)

手順は,書式 B’による。

e)

二つの対応のない測定値の平均の比較(分散既知)

手順は,書式 C による。

f)

二つの対応のない測定値の平均の比較(分散未知。ただし,二つの分散を等しいと仮定してよい場合)

手順は,書式 C’による。

g)

二つの対応のない測定値の平均の比較(分散未知。ただし,二つの分散が等しくない場合)

手順は,書式 C”による。

h)

二つの対応のない測定値の平均の差の信頼区間(分散既知)

手順は,書式 D による。

i)

二つの対応のない測定値の平均の差の信頼区間(分散未知。ただし,二つの分散を等しいと仮定して

よい場合)

手順は,書式 D’による。

j)

二つの対応のない測定値の平均の差の信頼区間(分散未知。ただし,二つの分散が等しくない場合)

手順は,書式 D”による。

k)

分散又は標準偏差と与えられた値との比較

手順は,書式 E による。

l)

分散又は標準偏差の信頼区間

手順は,書式 F による。

m)

二つの分散又は二つの標準偏差の比較

手順は,書式 G による。

n)

二つの分散又は二つの標準偏差の比の信頼区間

手順は,書式 H による。

o)

二つの対応のある測定値の平均の差と与えられた値の比較(差の分散既知)

手順は,書式 K による。

p)

二つの対応のある測定値の平均の差と与えられた値の比較(差の分散未知)


6

Z 9041-2 : 1999

手順は,書式 K’による。

q)

二つの対応のある測定値の平均の差の信頼区間(差の分散既知)

手順は,書式 L による。

r)

二つの対応のある測定値の平均の差の信頼区間(差の分散未知)

手順は,書式 L’による。


7

Z 9041-2 : 1999

書式 A  与えられた値と平均の比較(分散既知)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

与えられた値:

µ

0

既知の分散の値:

σ

2

既知の標準偏差の値:

σ

有意水準:

α

測定値の個数:n

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合  u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

計算

x

D

x

µ

0

A)

,B)の場合  A=u

1

α

σ

/

n

C)

の場合

B

u

1

α

/2

σ

/

n

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


8

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法:

糸の切断荷重

アイテム:糸 1 の試験片(7.1 参照)

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

×

与えられた値:

µ

0

=19.4N

既知の分散の値:

σ

2

既知の標準偏差の値:

σ

=0.85N

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n=10

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合  u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

=1.960

計算

x

=18.79N

D

x

µ

0

=−0.61 N

A)

,B)の場合  A=u

1

a

σ

/

n

C)

の場合

B

u

1

a/2

σ

/

n

=0.526 8N

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

糸 1 の切断荷重の期待値は,与えられた値

µ

0

=19.4N と有意水準 5%で有意な差が検出された。


9

Z 9041-2 : 1999

書式 A’  与えられた値と平均の比較(分散未知)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

与えられた値:

µ

0

有意水準:

α

測定値の個数:n

自由度:

ν

n−1=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合  t

1

α

ν

)=

C)

の場合

t

1

α

/2

ν

)=

計算

x

s

2

s

D

x

µ

0

A)

,B)の場合  A=t

1

a

ν

s/

n

C)

の場合

B

t

1

a/2

ν

s/

n

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


10

Z 9041-2 : 1999

書式 A’の使用例

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸 1 の試験片(7.1 参照)

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

µ

0

  □

×

与えられた値:

µ

0

=19.4N

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n=10

自由度:

ν

n−1=9

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合  t

1

α

ν

)=

C)

の場合

t

1

α

/2

ν

)=2.262

計算

x

=18.79N

s

2

=0.9343N

2

s

=0.9666N

D

x

µ

0

A)

,B)の場合  A=t

1

α

ν

s/

n

C)

の場合

B

t

1

α

/2

ν

s/

n

=0.691 4N

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

糸 1 の切断荷重の期待値は,与えられた値

µ

0

=19.4N と有意水準 5%で有意な差が検出されなかった。


11

Z 9041-2 : 1999

書式 B  平均の信頼限界(分散既知)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

µ

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

既知の分散の値:

σ

2

既知の標準偏差の値:

σ

信頼係数:1−

α

測定値の個数:n

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合  u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

計算

x

A)

の場合

u

1

α

σ

/

n

A

x

u

1

α

σ

/

n

B)

の場合

u

1

α

σ

/

n

B

x

u

1

α

σ

/

n

C)

の場合

u

1

α

/2

σ

/

n

C

x

u

1

α

/2

σ

/

n

D

x

u

1

α

/2

σ

/

n

信頼限界の報告

A)

の場合

µ

≦A,

B)

の場合

µ

≧B,

C)

の場合  C≦

µ

≦D

結果

A)

の場合

µ

B)

の場合

µ

C)

の場合  ≦

µ


12

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸 1 の試験片(7.1 参照)

µ

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

既知の分散の値:

σ

2

既知の標準偏差の値:

σ

=0.85N

信頼係数:1−

α

=0.95

測定値の個数:n=10

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

=1.96

計算

x

=18.79N

A)

の場合

u

1

α

σ

/

n

A

x

u

1

α

σ

/

n

B)

の場合

u

1

α

σ

/

n

B

x

u

1

α

σ

/

n

C)

の場合

u

1

α

/2

σ

/

n

=0.526 8N

C

x

u

1

α

/2

σ

/

n

=18.263N

D

x

u

1

α

/2

σ

/

n

=19.317N

信頼限界の報告

A)

の場合

µ

≦A,

B)

の場合

µ

≧B,

C)

の場合  C≦

µ

≦D

結果

A)

の場合

µ

B)

の場合

µ

C)

の場合 18.26N≦

µ

≦19.32N

試験片の切断荷重の平均値は,信頼係数 1−

α

=95%で,18.26N と 19.32N との間になる。


13

Z 9041-2 : 1999

書式 B’  平均の信頼限界(分散未知) 

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

µ

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

信頼係数:1−

α

測定値の個数:n= 
自由度:

ν

n−1=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

計算

x

s

2

s

A)

の場合

t

1

α

 (

ν

s/

n

A

x

t

1

α

 (

ν

s/

n

B)

の場合

t

1

α

 (

ν

s/

n

B

x

t

1

α

 (

ν

s/

n

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

s/

n

C

x

t

1

α

/2

 (

ν

s/

n

D

x

t

1

α

/2

 (

ν

s/

n

信頼限界の報告

A)

の場合

µ

≦A,

B)

の場合

µ

≧B,

C)

の場合  C≦

µ

≦D

結果

A)

の場合

µ

B)

の場合

µ

C)

の場合  ≦

µ


14

Z 9041-2 : 1999

書式 B’の使用例

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸 1 の試験片(7.1 参照)

注:

µ

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

信頼係数:1−

α

=0.95

測定値の個数:n=10 
自由度:

ν

n−1=9

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

1

a/2

 (

ν

)

t

0.975

 (9)

=2.262

計算

x

=18.79 N

s

2

=0.934 3N

2

s

=0.966 6 N

A)

の場合

t

1

α

 (

ν

s/

n

A

x

t

1

α

 (

ν

s/

n

B)

の場合

t

1

α

 (

ν

s/

n

B

x

t

1

α

 (

ν

s/

n

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

s/

n

=0.6914N

C

x

t

1

α

/2

 (

ν

s/

n

=18.099N

D

x

t

1

α

/2

 (

ν

s/

n

=19.481N

信頼限界の報告

A)

の場合

µ

≦A,

B)

の場合

µ

≧B,

C)

の場合  C≦

µ

≦D

結果

A)

の場合

µ

B)

の場合

µ

C)

の場合 18.10N≦

µ

≦19.48N

試験片の切断荷重の平均値は,信頼係数 1−

α

=95%で,18.10N と 19.48N との間になる。


15

Z 9041-2 : 1999

書式 C  二つの対応のない測定の平均の比較(分散既知)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

既知の分散の値:

σ

1

2

σ

2

2

有意水準:

α

測定値の個数:n

1

n

2

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

計算

1

x

2

x

D

1

x

2

x

σ

D

2

2

2

1

2

1

n

n

σ

σ

+

A)

,B)の場合

A

u

1

α

σ

D

C)

の場合

B

u

1

α

/2

σ

D

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


16

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法: 
第 1 確率変数,第 2 確率変数ともに糸の切断荷重

アイテム:1.  糸 1 の試験片,2.  糸 2 の試験片(7.1 参照)

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

 :

µ

1

µ

2

  □

B)

片側検定 H

0

 :

µ

1

µ

2

  □

C)

両側検定 H

0

 :

µ

1

µ

2

  □

×

既知の分散の値:

σ

1

2

=0.722 5N

2

σ

2

2

=1.000 0N

2

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n

1

=10

n

2

=12

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

=1.960

計算

1

x

=18.79 N

2

x

=18.04 N

D

1

x

2

x

=0.75 N

σ

D

2

2

2

1

2

1

n

n

σ

σ

+

=0.3944 N

A)

,B)の場合

A

u

1

α

σ

D

C)

の場合

B

u

1

α

/2

σ

D

=0.773 1N

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

二つの糸の切断荷重の平均の間には有意水準 5%で有意な差が見出されなかった。


17

Z 9041-2 : 1999

書式 C’  二つの対応のない測定の平均の比較

(分散未知。ただし,等しいと仮定してよい場合)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

有意水準:

α

測定値の個数:n

1

n

2

自由度:

ν

n

1

n

2

−2=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

計算

1

x

2

x

s

1

2

s

2

2

D

1

x

2

x

Q

=  (n

1

−1) s

1

2

+  (n

2

−1) s

2

2

s

D

ν

2

1

2

1

n

n

Q

n

n

+

A)

,B)の場合

A

t

1

α

 (

ν

s

D

C)

の場合

B

t

1

α

/2

 (

ν

s

D

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


18

Z 9041-2 : 1999

書式 C’の使用例

確率変数と観測方法: 
第 1 確率変数,第 2 確率変数ともに糸の切断荷重

アイテム:1.  糸 1 の試験片,2.  糸 2 の試験片(7.1 参照) 
注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

×

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n

1

=10

n

2

=12

自由度:

ν

n

1

n

2

−2=20

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

t

0.975

 (20)

=2.086

計算

1

x

=18.79 N

2

x

=18.04 N

s

1

2

=0.934 3N

2

s

2

2

=1.282 7N

2

D

1

x

2

x

=0.75 N

Q

=  (n

1

−1) s

1

2

+  (n

2

−1) s

2

2

=22.518N

2

s

D

ν

2

1

2

1

n

n

Q

n

n

+

=0.454 3N

A)

,B)の場合

A

t

1

α

 (

ν

s

D

C)

の場合

B

t

1

α

/2

 (

ν

s

D

=0.947 7N

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

二つの糸の切断荷重の平均の間には有意水準 5%では有意な差が見出されなかった。


19

Z 9041-2 : 1999

書式 C”  二つの対応のない測定の平均の比較

(分散未知。ただし,等しくない場合)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

有意水準:

α

測定値の個数:n

1

n

2

計算

1

x

2

x

s

1

2

s

2

2

D

1

x

2

x

s

D

2

2

2

1

2

1

n

s

n

s

+

C

2

2

2

1

2

1

1

2

1

n

s

n

s

n

s

+

自由度:

ν

1

)

1

(

1

1

2

2

1

2

+

n

c

n

c

ν

を切り上げた整数値:

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

A

t

1

α

 (

ν

 s

D

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

B

t

1

α

/2

 (

ν

s

D

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


20

Z 9041-2 : 1999

書式 C”の使用例

確率変数と観測方法: 
第 1 確率変数,第 2 確率変数ともに糸の切断荷重

アイテム:1.  糸 1 の試験片,2.  糸 2 の試験片(7.1 参照)

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

  □

×

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n

1

=10

n

2

=12

計算

1

x

=18.79N

2

x

=18.04N

s

1

2

=0.934 3N

2

s

2

2

=1.282 7N

2

D

1

x

2

x

=0.75N

s

D

2

2

2

1

2

1

n

s

n

s

+

=0.447 6

C

2

2

2

1

2

1

1

2

1

n

s

n

s

n

s

+

=0.466 4

自由度:

ν

1

)

1

(

1

1

2

2

1

2

+

n

c

n

c

=19.98

ν

を切り上げた整数値:20

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

A

t

1

α

 (

ν

s

D

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

t

0.975

 (20)

=2.086

B

t

1

α

/2

 (

ν

s

D

=0.933 7

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

二つの糸の切断荷重の平均の間には有意水準 5%で有意な差が見出されなかった。


21

Z 9041-2 : 1999

書式 D  二つの対応のない測定の平均の差の信頼区間

(分散既知)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

△=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

既知の分散の値:

σ

1

2

σ

2

2

有意水準:1−

α

測定値の個数:n

1

n

2

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

計算

1

x

2

x

σ

D

2

2

2

1

2

1

n

n

σ

σ

+

A)

の場合

u

1

α

σ

D

A

1

x

2

x

u

1

α

σ

D

B)

の場合

u

1

α

σ

D

B

1

x

2

x

u

1

α

σ

D

C)

の場合

u

1

α

/2

σ

D

C

1

x

2

x

u

1

α

/2

σ

D

D

1

x

2

x

u

1

α

/2

σ

D

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合

∆≦

B)

の場合

∆≧

C)

の場合  ≦

∆≦


22

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法: 
第 1 確率変数,第 2 確率変数ともに糸の切断荷重

アイテム:1.  糸 1 の試験片,2.  糸 2 の試験片(7.1 参照) 
∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

既知の分散の値:

σ

1

2

=0.722 5N

2

σ

2

2

=1.000 0N

2

有意水準:1−

α

=0.95

測定値の個数:n

1

=10

n

2

=12

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

u

0.975

=1.960

計算

1

x

=18.79N

2

x

=18.04N

σ

D

2

2

2

1

2

1

n

n

σ

σ

+

=0.394 4N

A)

の場合

u

1

α

σ

D

A

1

x

2

x

u

1

α

σ

D

B)

の場合

µ

1

α

σ

D

B

1

x

2

x

u

1

α

σ

D

C)

の場合

u

1

α

/2

σ

D

=0.773 1 N

C

1

x

2

x

u

1

α

/2

σ

D

=−0.023 1N

D

1

x

2

x

u

1

α

/2

σ

D

=1.523 1N

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合

∆≦

B)

の場合

∆≧

C)

の場合  −0.02N≦

∆≦1.52N

糸 1 と糸 2 との切断荷重の平均の差は,信頼係数 1−

α

=0.95 で,−0.02N と 1.52N との間になる。


23

Z 9041-2 : 1999

書式 D’  二つの対応のない測定の平均の差の信頼区間

(分散未知。ただし,等しいと仮定してよい場合)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注: 
∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

信頼係数:1−

α

測定値の個数:n

1

n

2

自由度:

ν

n

1

n

2

−2=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

計算

1

x

2

x

s

1

2

s

2

2

Q

=  (n

1

−1) s

1

2

+  (n

2

−1) s

2

2

s

d

ν

2

1

2

1

n

n

Q

n

n

+

A)

の場合

t

1

α

 (

ν

s

d

A

1

x

2

x

t

1

α

 (

ν

s

d

B)

の場合

t

1

α

 (

ν

s

d

B

1

x

2

x

t

1

α

 (

ν

s

d

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

C

1

x

2

x

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

D

1

x

2

x

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合

∆≦

B)

の場合

∆≧

C)

の場合  ≦

∆≦


24

Z 9041-2 : 1999

書式 D’の使用例

確率変数と観測方法: 
第 1 確率変数,第 2 確率変数ともに糸の切断荷重

アイテム:1.  糸 1 の試験片,2.  糸 2 の試験片(7.1 参照) 
∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

信頼係数:1−

α

=0.95

測定値の個数:n

1

=10

n

2

=12

自由度:

ν

n

1

n

2

−2=20

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

t

0.975

 (20)

=2.086

計算

1

x

=18.79N

2

x

=18.04N

s

1

2

=0.934 3N

2

s

2

2

=1.282 7N

2

Q

=  (n

1

−1) s

1

2

+  (n

2

−1) s

2

2

=22.518N

2

s

d

ν

2

1

2

1

n

n

Q

n

n

+

=0.454 3N

A)

の場合

t

1

α

 (

ν

s

d

A

1

x

2

x

t

1

α

 (

ν

s

d

B)

の場合

t

1

α

 (

ν

s

d

B

1

x

2

x

t

1

α

 (

ν

s

d

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

=0.947 7N

C

1

x

2

x

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

=−0.197 7N

D

1

x

2

x

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

=1.697 7N

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合

∆≦

B)

の場合

∆≧

C)

の場合  −0.20N≦

∆≦1.70N

糸 1 と糸 2 との切断荷重の平均の差は,信頼係数 1−

α

=0.95 で,−0.20N と 1.70N との間になる。


25

Z 9041-2 : 1999

書式 D”  二つの対応のない測定の平均の差の信頼区間

(分散未知。ただし,等しくない場合)

確率変数と観測方法:

アイテム:

注: 
∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

有意水準:1−

α

測定値の個数:n

1

n

2

計算

1

x

2

x

s

1

2

s

2

2

s

d

2

2

2

1

2

1

n

s

n

s

+

C

2

2

2

1

2

1

1

2

1

n

s

n

s

n

s

+

自由度:

ν=

1

)

1

(

1

1

2

2

1

2

+

n

c

n

c

v

を切り上げた整数値:

A)

の場合

t

1

α

 (

ν

)

t

1

α

 (

ν

s

d

A

1

x

2

x

t

1

α

 (

ν

s

d

B)

の場合

t

1

α

 (

ν

)

t

1

α

 (

ν

s

d

B

1

x

2

x

t

1

α

 (

ν

s

d

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

C

1

x

2

x

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

D

1

x

2

x

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合

∆≦

B)

の場合

∆≧

C)

の場合  ≦

∆≦


26

Z 9041-2 : 1999

書式 D”の使用例

確率変数と観測方法: 
第 1 確率変数,第 2 確率変数ともに糸の切断荷重 
アイテム:1.  糸 1 の試験片,2.  糸 2 の試験片(7.1 参照) 
∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

有意水準:1−

α

=0.95

測定値の個数:n

1

=10

n

2

=12

計算

1

x

=18.79N

2

x

=18.04N

s

1

2

=0.934 3N

2

s

2

2

=1.282 7N

2

s

d

2

2

2

1

2

1

n

s

n

s

+

=0.447 6

C

2

2

2

1

2

1

1

2

1

n

s

n

s

n

s

+

=0.466 4

自由度:

ν

1

)

1

(

1

1

2

2

1

2

+

n

c

n

c

=19.98

ν

を切り上げた整数値:20

A)

の場合

t

1

α

 (

ν

)

t

1

α

 (

ν

s

d

A

1

x

2

x

t

1

α

 (

ν

s

d

B)

の場合

t

1

α

 (

ν

)

t

1

α

 (

ν

s

d

B

1

x

2

x

t

1

α

 (

ν

s

d

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

t

0.975

 (20)

=2.086

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

=0.933 7

C

1

x

2

x

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

=−0.183 7

D

1

x

2

x

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

=1.683 7

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合

∆≦

B)

の場合

∆≧

C)

の場合  −0.18N≦

∆≦1.68N

糸 1 と糸 2 との切断荷重の平均の差は,信頼係数 1−

α

=0.95 で,−0.18N と 1.68N との間になる。


27

Z 9041-2 : 1999

書式 E  分散又は標準偏差と与えられた値との比較

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

σ

2

σ

0

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

σ

2

σ

0

2

  □

C)

両側検定 H

0

:

σ

2

σ

0

2

  □

与えられた値:

σ

0

2

有意水準:

α

測定値の個数:n

自由度:

ν

n−1=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

の場合

X

2

α

 (

ν

)

B)

の場合

X

2

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

X

2

1

α

/2

 (

ν

)

X

2

1

α

/2

 (

ν

)

計算

s

2

A

2

0

2

)

1

(

σ

s

n

検定の解釈

A)

の場合  A<X

2

α

 (

ν

)

B)

の場合  A>X

2

1

α

 (

ν

)

C)

の場合  A<X

2

α

/2

 (

ν

)

又は A>X

2

1

α

/2

 (

ν

)

のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


28

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸 1 の試験片(7.1 参照)

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

σ

2

σ

0

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

σ

2

σ

0

2

  □

×

C)

両側検定 H

0

:

σ

2

σ

0

2

  □

与えられた値:

σ

0

2

=0.600N

2

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n=10

自由度:

ν

n−1=9

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

の場合

X

2

α

 (

ν

)

B)

の場合

X

2

1

α

 (

ν

)

=X

2

0.95

 (9)

=16.92

C)

の場合

X

2

1

α

/2

 (

ν

)

X

2

1

α

/2

 (

ν

)

計算

s

2

=0.934 3N

2

A

2

0

2

)

1

(

σ

s

n

=14.015

検定の解釈

A)

の場合  A<X

2

α

 (

ν),

B)

の場合  A>X

2

1

α

 (

ν),

C)

の場合  A<X

2

α

/2

 (

ν)  又は A>X

2

1

α

/2

 (

ν

)

のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

糸 1 の切断荷重の分散は,与えられた値

σ

0

2

=0.600 0N

2

と有意水準 5%で有意な差が検出されなかった。


29

Z 9041-2 : 1999

書式 F  分散又は標準偏差の信頼区間

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

σ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

信頼係数:1−

α

測定値の個数:n= 
自由度:

ν

n−1=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

の場合

X

2

α

 (

ν

)

B)

の場合

X

2

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

X

2

α

/2

 (

ν

)

X

2

1

α

/2

 (

ν

)

計算

s

2

A)

の場合

A

)

(

)

1

(

2

2

ν

χ

α

s

n

B)

の場合

B

)

(

)

1

(

1

2

2

ν

χ

α

− s

n

C)

の場合

C

)

(

)

1

(

2

/

1

2

2

ν

χ

α

− s

n

D

)

(

)

1

(

2

/

2

2

ν

χ

α

s

n

信頼限界の報告

A)

の場合

σ

2

≦A,

B)

の場合

σ

2

≧B,

C)

の場合  C≦

σ

2

≦D

結果

A)

の場合  □

σ

2

B)

の場合  □

σ

2

C)

の場合  □  ≦

σ

2

σ

の信頼限界は

σ

2

の信頼限界の正の平方根となる。


30

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:糸 1 の試験片(7.1 参照)

 

σ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

信頼係数:1−

α

=0.95

測定値の個数:n=10 
自由度:

ν

n−1=9

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

の場合

X

2

α

 (

ν

)

B)

の場合

X

2

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

X

2

α

/2

 (

ν

)

X

2

0.025

 (9)

=2.70

X

2

1

α

/2

 (

ν

)

X

2

0.975

 (9)

=19.02

計算

s

2

=0.934 3N

2

A)

の場合

A

)

(

)

1

(

2

2

ν

χ

α

s

n

B)

の場合

B

)

(

)

1

(

1

2

2

ν

χ

α

− s

n

C)

の場合

C

)

(

)

1

(

2

/

1

2

2

ν

χ

α

− s

n

=0.442 1N

2

D

)

(

)

1

(

2

/

2

2

ν

χ

α

s

n

=3.114 3N

2

信頼限界の報告

A)

の場合

σ

2

≦A,

B)

の場合

σ

2

≧B,

C)

の場合  C≦

σ

2

≦D

結果

A)

の場合

σ

2

B)

の場合

σ

2

C)

の場合 0.442N

2

σ

2

≦3.114N

2

糸 1 の切断荷重の分散は,信頼係数 1−

α

=95%で,0.442N

2

と 3.114N

2

の間にある。

σ

の信頼限界は

σ

2

の信頼限界の正の平方根となり,ここでは 0.66N と 1.75N となる。


31

Z 9041-2 : 1999

書式 G  二つの分散又は標準偏差の比較

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

σ

1

2

σ

2

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

σ

1

2

σ

2

2

  □

C)

両側検定 H

0

:

σ

1

2

σ

2

2

  □

有意水準:

α

測定値の個数:n

1

n

2

自由度:

ν

1

n

1

−1=

ν

2

n

2

−1=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

の場合

F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

B)

の場合

F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

C)

の場合

F

1

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

計算

s

1

2

s

2

2

A

2

2

2

1

s

s

A)

の場合  F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

=1/F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

C)

の場合  F

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

=1/F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

検定の解釈

A)

の場合  A<F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

B)

の場合  A>F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

C)

の場合  A<F

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

又は A>F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


32

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:  糸 1 の試験片

糸 2 の試験片(7.1 参照)

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

σ

1

2

σ

2

2

  □

B)

片側検定 H

0

:

σ

1

2

σ

2

2

  □

C)

両側検定 H

0

:

σ

1

2

σ

2

2

  □

×

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n

1

=10   n

2

=12

自由度:

ν

1

n

1

−1=9

ν

2

n

2

−1=11

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

の場合

F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

B)

の場合

F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

C)

の場合

F

1

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

F

0.975

 (9, 11)

=3.59

F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

F

0.975

 (11, 9)

=3.91

計算

s

1

2

=0.934 3N

2

s

2

2

=1.282 7N

2

A

2

2

2

1

s

s

=0.728 4

A)

の場合  F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

=1/F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

C)

の場合  F

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

=1/F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

=0.256

検定の解釈

A)

の場合  A<F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

B)

の場合  A>F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

C)

の場合  A<F

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

又は A>F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

糸 1 と糸 2 の切断荷重の分散は,有意水準 5%で有意な差が検出されなかった。


33

Z 9041-2 : 1999

書式 H  二つの分散又は標準偏差の比の信頼区間

確率変数と観測方法:

アイテム:

注:

σ

1

2

/

σ

2

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

信頼係数:1−

α

測定値の個数:n

1

n

2

自由度:

ν

1

n

1

−1=

ν

2

n

2

−1=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

の場合

F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

B)

の場合

F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

C)

の場合

F

1

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

計算

s

1

2

s

2

2

2

2

2

1

s

s

A)

の場合

A

2

2

2

1

s

s

F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

B)

の場合

B

2

2

2

1

s

s

/F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

C)

の場合

C

2

2

2

1

s

s

/F

1

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

D

2

2

2

1

s

s

F

1

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

信頼限界の報告

A)

の場合

σ

1

2

/

σ

2

2

≦A

B)

の場合

σ

1

2

/

σ

2

2

≧B

C)

の場合  C≦

σ

1

2

/

σ

2

2

≦D

結果

A)

の場合□

σ

1

2

/

σ

2

2

B)

の場合□

σ

1

2

/

σ

2

2

C)

の場合□  ≦

σ

1

2

/

σ

2

2

σ

1

/

σ

2

の信頼限界は

σ

1

2

/

σ

2

2

の信頼限界の正の平方根となる。


34

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法: 
糸の切断荷重 
アイテム:  糸 1 の試験片

糸 2 の試験片(7.1 参照)

σ

1

2

/

σ

2

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

信頼係数:1−

α

=0.95

測定値の個数:n

1

=10

n

2

=12

自由度:

ν

1

n

1

−1=9

ν

2

n

2

−1=11

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

の場合

F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

B)

の場合

F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

C)

の場合

F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

F

0.975

 (9, 11)

=3.59

F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

F

0.975

 (11, 9)

=3.91

計算

s

1

2

=0.934 3N

2

s

2

2

=1.282 7N

2

2

2

2

1

s

s

=0.728 4

A)

の場合

A

2

2

2

1

s

s

F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

B)

の場合

B

2

2

2

1

s

s

/F

1

α

 (

ν

2

,

ν

1

)

C)

の場合

C

2

2

2

1

s

s

/F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

=0.202 9 

D

2

2

2

1

s

s

F

1

α

/2

 (

ν

2

,

ν

1

)

=2.848

信頼限界の報告

A)

の場合

σ

1

2

/

σ

2

2

≦A

B)

の場合

σ

1

2

/

σ

2

2

≧B

C)

の場合  C≦

σ

1

2

/

σ

2

2

≦D

結果

A)

の場合  □

σ

1

2

/

σ

2

2

B)

の場合  □

σ

1

2

/

σ

2

2

C)

の場合  □

×

  0.203≦

σ

1

2

/

σ

2

2

≦2.848

糸 1 と糸 2 の切断荷重の分散比は,信頼係数 1−

α

=95%で 0.203 と 2.848 の間にある。

σ

1

/

σ

2

の信頼限界は

σ

1

2

/

σ

2

2

の信頼限界の正の平方根となり,ここでは 0.45 と 1.69 となる。


35

Z 9041-2 : 1999

書式 K  二つの対応のある測定の平均の比較 

(二つの対応のある測定の平均の差の期待値に関する検定,差の分散既知)

確率変数と観測方法:

アイテム: 
注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

与えられた値:

0

既知の値 
  差の分散:

σ

D

2

  差の標準偏差:

σ

D

有意水準:

α

測定値の個数:n= 
統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

 

計算 
差 d

i

の平均

d

d

D

d

0

A)

,B)の場合

A

u

1

α

σ

D

/

n

C)

の場合

B

u

1

α

/2

σ

D

/

n

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


36

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法: 
アイテム:

1

n

=9 の種々の糸素材について,分析方法 1 で水分含有率を測定。

2 1

と同一試料を分析方法 2 で水分含有率を測定。

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

×

与えられた値:

0

=0%

既知の値

  差の分散:

σ

D

2

  差の標準偏差:

σ

D

=1.00%

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n=9 
統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

u

0.975

=1.960

計算 
差 d

i

の平均

d

d

=0.211%

D

d

0

=0.211%

A)

,B)の場合

A

u

1

α

σ

D

/

n

C)

の場合

B

u

1

α

/2

σ

D

/

n

=0.653%

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

分析方法 1 と 2 とでは,水分含有率の期待値が,有意水準 5%で有意な差が検出されなかった。 
(分析方法 1 と 2 との水分含有率の差の期待値と,与えられた値

0

=0%とは,有意水準 5%で有意な差が検出されな

かった。


37

Z 9041-2 : 1999

書式 K’  二つの対応のある測定の平均の比較 

(二つの対応のある測定の平均の差の期待値に関する検定,差の分散未知)

確率変数と観測方法:

アイテム: 
注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

与えられた値:

0

有意水準:

α

測定値の個数:n= 
自由度:

ν

n−1=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

ν

, 1

α

/2

 (

ν

)

計算 
差 d

i

の平均

d

d

D

d

0

差 d

i

の標準偏差:

s

d

A)

,B)の場合

A

t

1

α

 (

ν

s

d

/

n

C)

の場合

B

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

/

n

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。


38

Z 9041-2 : 1999

書式 K’の使用例

確率変数と観測方法:糸の水分含有率 (%) 
アイテム:

1

n

=9 の種々の糸素材について,分析方法 1 で水分含有率を測定。

2 1

と同一試料を分析方法 2 で水分含有率を測定。

注:

帰無仮説と検定のタイプ

A)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

B)

片側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

C)

両側検定 H

0

:

µ

1

µ

2

0

  □

×

与えられた値:

0

=0%

有意水準:

α

=0.05

測定値の個数:n=9 
自由度:

ν

n−1=8

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

ν

, 1

α

/2

 (

ν

)

t

0.975

 (8)

=2.306

計算

差 d

i

の平均

d

d

=0.211%

D

d

0

=0.211%

差 d

i

の標準偏差:

s

d

=1.125 %

A)

,B)の場合

A

t

ν

, 1

α

s

d

/

n

C)

の場合

B

t

ν

, 1

α

/2

s

D

/

n

=0.865 %

検定の解釈

A)

の場合  D<−A,

B)

の場合  D>A,

C)

の場合  |D|>B のとき帰無仮説 H

0

を棄却する。

検定結果

H

0

は棄却される。

H

0

は棄却されない。

×

分析方法 1 と 2 とでは,水分含有率の期待値が,有意水準 5%で有意な差が検出されなかった。 
(分析方法 1 と 2 との水分含有率の差の期待値と,与えられた値

0

=0%とは,有意水準 5%で有意な差が検出されな

かった。


39

Z 9041-2 : 1999

書式 L  二つの対応のある測定の平均の差の信頼限界 

(二つの対応のある測定の平均の差の期待値の信頼区間,分散既知)

確率変数と観測方法:

アイテム: 
注: 
∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

既知の値 
  差の分散:

σ

D

2

  差の標準偏差:

σ

D

信頼係数:1−

α

測定値の個数:n

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

計算 
差 d

i

の平均

d

d

A)

の場合

u

1

α

σ

D

/

n

A

d

u

1

α

σ

D

/

n

B)

の場合

u

1

α

σ

D

/

n

B

d

u

1

α

σ

D

/

n

C)

の場合

u

1

α

/2

σ

D

/

n

C

d

u

1

α

/2

σ

D

/

n

D

d

u

1

α

/2

σ

D

/

n

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合

∆≦

B)

の場合

∆≧

C)

の場合  ≦

∆≦


40

Z 9041-2 : 1999

書式 の使用例

確率変数と観測方法:糸の水分含有率 (%) 
アイテム:

1

n

=9 の種々の糸素材について,分析方法 1 で水分含有率を測定。

2 1

と同一試料を分析方法 2 で水分含有率を測定。

注: 
∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

既知の値 
  差の分散:

σ

D

2

  差の標準偏差:

σ

D

=1.00%

信頼係数:1−

α

=0.95

測定値の個数:n=9

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

u

1

α

C)

の場合

u

1

α

/2

u

0.975

=1.960

計算 
差 d

i

の平均

d

d

=0.211%

A)

の場合

u

1

α

σ

D

/

n

A

d

u

1

α

σ

D

/

n

B)

の場合

u

1

α

σ

D

/n

B

d

u

1

α

σ

D

/

n

C)

の場合

u

1

α

/2

σ

D

/

n

=0.653 %

C

d

u

1

α

/2

σ

D

/

n

=−0.442%

D

d

u

1

α

/2

σ

D

/

n

=0.864%

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合  □

∆≦

B)

の場合  □

∆≧

C)

の場合  □

×

  −0.44%≦

∆≦0.86%

両分析方法の水分含有率の差の期待値

∆は,信頼係数 1−

α

=0.95 で−0.44%と 0.86%の間にある。


41

Z 9041-2 : 1999

書式 L’  二つの対応のある測定の平均の差の信頼限界 

(二つの対応のある測定の平均の差の期待値の信頼区間,分散未知)

確率変数と観測方法:

アイテム: 
注: 
∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

信頼係数:1−

α

測定値の個数:n

自由度:

ν

n−1=

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

計算 
差 d

i

の平均

d

d

A)

の場合

t

1

α

 (

ν

s

d

/

n

A

d

t

1

α

 (

ν

s

d

/

n

B)

の場合

t

1

α

 (

ν

S

d

/n

B

d

t

1

α

 (

ν

s

d

/

n

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

/

n

C

d

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

/

n

D

d

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

/

n

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合  □

∆≦

B)

の場合  □

∆≧

C)

の場合  □  ≦

∆≦


42

Z 9041-2 : 1999

書式 L’の使用例

確率変数と観測方法:糸の水分含有率 (%) 
アイテム:

1

n

=9 の種々の糸素材について,分析方法 1 で水分含有率を測定。

2 1

と同一試料を分析方法 2 で水分含有率を測定。

∆=

µ

1

µ

2

の信頼区間のタイプ

A)

片側信頼上限  □

B)

片側信頼下限  □

C)

両側信頼限界  □

×

信頼係数:1−

α

=0.95

測定値の個数:n=9 
自由度:

ν

n−1=8

統計数値表の値(

附属書 表 参照)

A)

,B)の場合

t

1

α

 (

ν

)

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

)

t

0.975

 (8)

=2.306

計算 
差 d

i

の平均

d

d

=0.211 %

A)

の場合

t

1

α

 (

ν

s

d

/

n

A

d

t

1

α

 (

ν

s

d

/

n

B)

の場合

t

1

α

 (

ν

s

d

/

n

B

d

t

1

α

 (

ν

s

d

/

n

C)

の場合

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

/

n

=0.865 %

C

d

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

/

n

=−0.654%

D

d

t

1

α

/2

 (

ν

s

d

/

n

=1.076%

信頼限界の報告

A)

の場合

∆≦A,

B)

の場合

∆≧B,

C)

の場合  C≦

∆≦D

結果

A)

の場合  □

∆≦

B)

の場合  □

∆≧

C)

の場合  □

×

  −0.65%≦

∆≦1.08%

両分析方法の水分含有率の差の期待値

∆は,信頼係数 1−

α

=0.95 で−0.65%と 1.08%の間にある。


43

Z 9041-2 : 1999

附属書 A(規定)  統計数値表

附属書 表 1  標準化正規分布の分位点 u

1

α

及び u

1

α/2

の表

両側の場合

片側の場合

α

=0.05

α

=0.01

α

=0.05

α

=0.01

u

1

α

/2

u

0.975

u

1

α

/2

u

0.995

u

1

α

u

0.95

u

1

α

u

0.99

1.960 2.576 1.645 2.326

備考  標準化正規変量の分位点 u

α

は,P (Uu

α

)

α

を満たす点である。の分布が

原点 0 を中心に対称であるため,u

α

=−u

1

α

が成り立つ。したがって,P (U

u

α

)

=1−

α

,P (u

α

/2

<U<u

1

α

/2

)

=1−

α

が成り立つ。の確率密度関数(標

準化正規分布)は,次のようになる(

附属書 図 参照)。

附属書 図 1  標準化正規分布 の確率密度


44

Z 9041-2 : 1999

附属書 表 2  分布の分位点 t

1

α

 (

ν

及び t

1

α/2

 (

ν

の表

両側の場合

片側の場合

α

=0.05

α

=0.01

α

=0.05

α

=0.01

t

1

α

/2

 (

ν)  =

t

1

α

/2

 (

ν)  =

t

1

α

 (

ν)  =

t

1

α

 (

ν)  =

ν

t

0.975

 (

ν)

t

0.995

 (

ν)

t

0.95

 (

ν)

t

0.99

 (

ν)

  1

12.706

63.657

6.314

31.821

  2

 4.303

 9.925

2.920

 6.965

  3

 3.182

 5.841

2.353

 4.541

  4

 2.776

 4.604

2.132

 3.747

  5

 2.571

 4.032

2.015

 3.365

  6

 2.447

 3.707

1.943

 3.143

  7

 2.365

 3.499

1.895

 2.998

  8

 2.306

 3.335

1.860

 2.896

  9

 2.262

 3.250

1.833

 2.821

 10

 2.228

 3.169

1.812

 2.764

 11

 2.201

 3.106

1.796

 2.718

 12

 2.179

 3.055

1.782

 2.681

 13

 2.160

 3.012

1.771

 2.650

 14

 2.145

 2.977

1.761

 2.624

 15

 2.131

 2.947

1.753

 2.602

 16

 2.120

 2.921

1.746

 2.583

 17

 2.110

 2.898

1.740

 2.567

 18

 2.101

 2.878

1.734

 2.552

 19

 2.093

 2.861

1.729

 2.539

 20

 2.086

 2.845

1.725

 2.528

 21

 2.080

 2.831

1.721

 2.518

 22

 2.074

 2.819

1.717

 2.508

 23

 2.069

 2.807

1.714

 2.500

 24

 2.064

 2.797

1.711

 2.492

 25

 2.060

 2.787

1.708

 2.485

 26

 2.056

 2.779

1.706

 2.479

 27

 2.052

 2.771

1.703

 2.473

 28

 2.048

 2.763

1.701

 2.467

 29

 2.045

 2.756

1.699

 2.462

 30

 2.042

 2.750

1.697

 2.457

 40

 2.021

 2.704

1.684

 2.423

 60

 2.000

 2.660

1.671

 2.390

120

 1.980

 2.617

1.658

 2.358

 1.960

 2.576

1.645

 2.326

出典:E. S. Pearson and H. O. Hartley, Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1 (1966). 
備考1.

ν

>30のときは,引数を z=120/

ν

として補間を行う。

例:

ν=40 z=120/ν=3  t

0.975

 (

ν)  =2.021,ν=60 z=120/ν=2  t

0.975

 (

ν)  =2.000,したがって,ν=50 z=

120/

ν=2.4 のときには,

t

0.975

 (

ν

)

=2.021−

2

3

4

.

2

3

  (2.021−2.000)=2.008 となる。

2.

分位点 t

α

 (

ν

)

は,P [t (

ν

)

t

α

 (

ν

) ]

α

を満たす点である。ただし,t (

ν

)

は自由度

ν

の 分布に従う確率変数

である。分布が原点 0 を中心に対称であるため,t

α

 (

ν

)

=−t

1

α

 (

ν

)

が成り立つ。したがって,P [t (

ν

)

t

α

 (

ν

) ]

=1−

α

,P [t

α

/2

 (

ν

)

t (

ν

)

t

1

α

/2

 (

ν

) ]

=1−

α

が成り立つ。自由度 の 分布に従う確率変数 t (

ν

)

確率密度関数は,次のようになる(

附属書 図 参照)。


45

Z 9041-2 : 1999

附属書 図 2  自由度 vn

1

n

2

の 分布の確率密度


46

Z 9041-2 : 1999

附属書 表 3  カイ二乗分布の分位点 X

2

α/2

 (

ν

)

X

2

1

α/2

 (

ν

)

X

2

α

 (

ν

と X

2

1

α

 (

ν

の表

両側の場合

片側の場合

ν

X

2

0.025

X

2

0.975

X

2

0.005

X

2

0.995

X

2

0.05

X

2

0.95

X

2

0.01

X

2

0.99

  1

0.001

5.023

0.000 039 3

7.879

0.004

3.841

0.000 2

6.635

 2

0.051

7.378

0.010

10.597 0.103 5.991 0.020 9.210

 3

0.216

9.348

0.072

12.838

0.352

7.815

0.115

11.345

 4

0.484

11.143

0.207

14.860

0.711

9.488

0.297

13.277

5

0.831

12.833

0.412  16.750 1.145 11.071 0.554

15.086

6

1.237

14.449

0.676  18.548 1.635 12.592 0.872

16.812

7

1.690

16.013

0.989  20.278 2.167 14.067 1.239

18.475

8

2.180

17.535

1.344  21.955 2.733 15.507 1.646

20.090

9

2.700

19.023

1.735  23.589 3.325 16.919 2.088

21.666

10

3.247

20.483

2.156  25.188 3.940 18.307 2.558

23.209

11

3.816

21.920

2.603  26.757 4.575 19.675 3.053

24.725

12

4.404

23.337

3.074  28.300 5.226 21.026 3.571

26.217

13

5.009

24.736

3.565  29.819 5.892 22.362 4.107

27.688

14

5.629

26.119

4.075  31.319 6.571 23.685 4.660

29.141

15

6.262

27.488

4.601  32.801 7.261 24.996 5.229

30.578

16

6.908

28.845

5.142  34.267 7.962 26.296 5.812

32.000

17

7.564

30.191

5.697  35.719 8.672 27.587 6.408

33.409

18

8.231

31.526

6.265  37.156 9.390 28.869 7.015

34.805

19 8.907 32.852 6.844  38.582 10.117  30.144  7.633 36.191

20 9.591 34.170 7.434  39.997 10.851 31.410  8.260 37.566

21

10.283 35.479 8.034  41.401 11.591 32.671  8.897 38.932

22

10.982 36.781 8.643  42.796 12.338 33.924  9.542 40.289

23

11.689 38.076 9.260  44.181 13.091 35.173 10.196 41.638

24

12.401 39.364 9.886  45.559 13.848 36.415 10.856 42.980

25

13.120 40.647

10.520  46.928 14.611 37.653 11.524 44.314

26

13.844 41.923

11.160  48.290 15.379 38.885 12.198 45.642

27

14.573 43.194

11.808  49.645 16.151 40.113 12.879 46.963

28

15.308 44.461

12.461  50.993 16.928 41.337 13.565 48.278

29

16.047 45.722

13.121  52.336 17.708 42.557 14.257 49.588

30

16.791 46.979

13.787  53.672 18.493 43.773 14.954 50.892

出典:E. S. Pearson and H. O. Hartley, Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1 (1966) 
備考  分位点 X

2

α

 (

ν

)

は,P [X

2

 (

ν

)

X

2

α

 (

ν

)]

を満たす点である。ただし,X

2

 (

ν

)

は自由度

ν

のカイ二乗分布

に従う確率変数である。

P [X

2

 (

ν

)

X

2

α

 (

ν

) ]

=1−

α

,P [X

2

α

/2

 (

ν

)

X

2

 (

ν

)

X

2

1

α

/2

 (

ν

) ]

=1−

α

が成り立つ。

自由度

ν

のカイ二乗分布に従う確率変数 X

2

 (

ν

)

の確率密度関数は,

次のようになる

附属書 図 参照)。


47

Z 9041-2 : 1999

附属書 図 3  自由度

ν

nにカイ二乗分布の確率密度

附属書 表 4  分布の上側分位点

F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

),

α

=0.05

4  5  6  7  8  10 12 15 20 24 30 40 60 120

ν

1

ν

2

4  6.39 6.26 6.16

6.09 6.04 5.96

5.91

5.86

5.80

5.77

5.75 5.72 5.69

5.66

5  5.19 5.05 4.95

4.88 4.82 4.74

4.68

4.62

4.56

4.53

4.50 4.46 4.43

4.40

6  4.53 4.39 4.28

4.21 4.15 4.06

4.00

3.94

3.87

3.84

3.81 3.77 3.74

3.70

7  4.12 3.97 3.87

3.79 3.73 3.64

3.57

3.51

3.44

3.41

3.38 3.34 3.30

3.27

8  3.84 3.69 3.58

3.50 3.44 3.35

3.28

3.22

3.15

3.12

3.08 3.04 3.01

2.97

10  3.48 3.33 3.22

3.14 3.07 2.98

2.91

2.85

2.77

2.74

2.70 2.66 2.62

2.58

12  3.26 3.11 3.00

2.91 2.85 2.75

2.69

2.62

2.54

2.51

2.47 2.43 2.38

2.34

15  3.06 2.90 2.79

2.71 2.64 2.54

2.48

2.40

2.33

2.29

2.25 2.20 2.46

2.11

20  2.87 2.71 2.60

2.51 2.45 2.35

2.28

2.20

2.12

2.08

2.04 1.99 1.95

1.90

24  2.78 2.62 2.51

2.42 2.36 2.25

2.18

2.11

2.03

1.98

1.94 1.89 1.84

1.79

30  2.69 2.53 2.42

2.33 2.27 2.16

2.09

2.01

1.93

1.89

1.84 1.79 1.74

1.68

40  2.61 2.45 2.34

2.25 2.18 2.08

2.00

1.92

1.84

1.79

1.74 1.69 1.64

1.58

60  2.53 2.37 2.25

2.17 2.10 1.99

1.92

1.84

1.75

1.70

1.65 1.59 1.53

1.47

120  2.45 2.29 2.17

2.09 2.02 1.91

1.83

1.75

1.66

1.61

1.55 1.50 1.43

1.35

F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

),

α

=0.025

4  5  6  7  8  10 12 15 20 24 30 40 60 120

ν

1

ν

2

4  9.60 9.36 9.20

9.07 8.98 8.84

8.75

8.66

8.56

8.51

8.46 8.41 8.36

8.31

5  7.39 7.15 6.98

6.85 6.76 6.62

6.52

6.43

6.33

6.28

6.23 6.18 6.12

6.07

6  6.23 5.99 5.82

5.70 5.60 5.46

5.37

5.27

5.17

5.12

5.07 5.01 4.96

4.90

7  5.52 5.29 5.12

4.99 4.90 4.76

4.67

4.57

4.47

4.42

4.36 4.31 4.25

4.20

8  5.05 4.82 4.65

4.53 4.43 4.30

4.20

4.10

4.00

3.95

3.89 3.84 3.78

3.73

10  4.47 4.24 4.07

3.95 3.85 3.72

3.62

3.52

3.42

3.37

3.31 3.26 3.20

3.14

12  4.12 3.89 3.73

3.61 3.51 3.37

3.28

3.18

3.07

3.02

2.96 2.91 2.85

2.79

15  3.80 3.58 3.41

3.29 3.20 3.06

2.96

2.86

2.76

2.70

2.64 2.59 2.52

2.46

20  3.51 3.29 3.13

3.01 2.91 2.77

2.68

2.57

2.46

2.41

2.35 2.29 2.22

2.16

24  3.38 3.15 2.99

2.87 2.78 2.64

2.54

2.44

2.33

2.27

2.21 2.15 2.08

2.01

30  3.25 3.03 2.87

2.75 2.65 2.51

2.41

2.31

2.20

2.14

2.07 2.01 1.94

1.87

40  3.13 2.90 2.74

2.62 2.53 2.39

2.29

2.18

2.07

2.01

1.94 1.88 1.80

1.72

60  3.01 2.79 2.63

2.51 2.41 2.27

2.17

2.06

1.94

1.88

1.82 1.74 1.67

1.58

120  2.89 2.67 2.52

2.39 2.30 2.16

2.05

1.94

1.82

1.76

1.69 1.61 1.53

1.43


48

Z 9041-2 : 1999

F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

),

α

=0.01

4  5  6  7  8  10 12 15 20 24 30 40 60 120

ν

1

ν

2

4  15.98 15.52 15.21

14.98 15.80 14.55

14.37

14.20

14.02

13.93

13.84 13.75 13.65

13.56

  5

11.39  10.97  10.67

10.46  10.29  10.05

 9.89

 9.72

 9.55

 9.47

 9.38   9.29   9.20

 9.11

  6

 9.15   8.75   8.47

 8.26   8.10   7.87

 7.72

 7.56

 7.40

 7.31

 7.23   7.14   7.06

 6.97

  7

 7.85   7.46   7.19

 6.99   6.84   6.62

 6.47

 6.31

 6.16

 6.07

 5.99   5.91   5.82

 5.74

  8

 7.01   6.63   6.37

 6.18   6.03   5.81

 5.67

 5.52

 5.36

 5.28

 5.20   5.12   5.03

 4.95

 10

 5.99   5.64   5.39

 5.20   5.06   4.85

 4.71

 4.56

 4.41

 4.33

 4.25   4.17   4.08

 4.00

 12

 5.41   5.06   4.82

 4.64   4.50   4.30

 4.16

 4.01

 3.86

 3.78

 3.70   3.62   3.54

 3.45

 15

 4.89   4.56   4.32

 4.14   4.00   3.80

 3.67

 3.52

 3.37

 3.29

 3.21   3.13   3.05

 2.96

 20

 4.43   4.10   3.87

 3.70   3.56   3.37

 3.23

 3.09

 2.94

 2.86

 2.78   2.69   2.61

 2.52

 24

 4.22   3.90   3.67

 3.50   3.36   3.17

 3.03

 2.89

 2.74

 2.66

 2.58   2.49   2.40

 2.31

 30

 4.02   3.70   3.47

 3.30   3.17   2.98

 2.84

 2.70

 2.55

 2.47

 2.39   2.30   2.21

 2.11

 40

 3.83   3.51   3.29

 3.12   2.99   2.80

 2.66

 2.52

 2.37

 2.29

 2.20   2.11   2.02

 1.92

 60

 3.65   3.34   3.12

 2.95   2.82   2.63

 2.50

 2.35

 2.20

 2.12

 2.03   1.94   1.84

 1.73

120

 3.48   3.17   2.96

 2.79   2.66   2.47

 2.34

 2.19

 2.03

 1.95

 1.86   1.76   1.66

 1.53

F

1

α

 (

ν

1

,

ν

2

),

α

=0.005

4  5  6  7  8  10 12 15 20 24 30 40 60 120

ν

1

ν

2

4  23.15 22.46 21.97

21.62 21.35 20.97

20.70

20.44

20.17

20.03

19.89 19.75 19.61

19.47

5  15.56 14.94 14.51

14.20 13.96 13.62

13.38

13.15

12.90

12.78

12.66 12.53 12.40

12.27

  6

12.03  11.46  11.07

10.79  10.57  10.25

10.03

 9.81

 9.59

 9.47

 9.36   9.24   9.12

 9.00

  7

10.05   9.52   9.16

 8.89   8.68   8.38

 8.18

 7.97

 7.75

 7.65

 7.53   7.42   7.31

 7.19

  8

 8.81   8.30   7.95

 7.69   7.50   7.21

 7.01

 6.81

 6.61

 6.50

 6.40   6.29   6.18

 6.06

 10

 7.34   6.87   6.54

 6.30   6.12   5.85

 5.66

 5.47

 5.27

 5.17

 5.07   4.97   4.86

 4.75

 12

 6.52   6.07   5.76

 5.52   5.35   5.09

 4.91

 4.72

 4.53

 4.43

 4.33   4.23   4.12

 4.01

 15

 5.80   5.37   5.07

 4.85   4.67   4.42

 4.25

 4.07

 3.88

 3.79

 3.69   3.58   3.48

 3.37

 20

 5.17   4.76   4.47

 4.26   4.09   3.85

 3.68

 3.50

 3.32

 3.22

 3.12   3.02   2.92

 2.81

 24

 4.89   4.49   4.20

 3.99   3.83   3.59

 3.42

 3.25

 3.06

 2.97

 2.87   2.77   2.66

 2.55

 30

 4.62   4.23   3.95

 3.74   3.58   3.34

 3.18

 3.01

 2.82

 2.73

 2.63   2.52   2.42

 2.30

 40

 4.37   3.99   3.71

 3.51   3.35   3.12

 2.95

 2.78

 2.60

 2.50

 2.40   2.30   2.18

 2.06

 60

 4.14   3.76   3.49

 3.29   3.13   2.90

 2.74

 2.57

 2.39

 2.29

 2.19   2.08   1.96

 1.83

120

 3.92   3.55   3.28

 3.09   2.93   3.71

 2.54

 2.37

 2.19

 2.09

 1.98   1.87   1.75

 1.61

出典:E. S. Pearson and H. O. Hartley, Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1 (1966) 
備考1.  補間を行う場合は,

a)

ν

1

ν

2

が,10 より大きく,20 未満の場合には,引数を z=60/

ν

として補間を行う。

b)

ν

1

ν

2

が,20 より大きい場合には,引数を z’=120/

ν

として補間を行う。

補間の具体的計算手順については,

附属書 表 の備考 1.を参照。

備考2.  分位点 F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

は,P [F (

ν

1

,

ν

2

)

F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)]

α

を満たす点である。ただし,F (

ν

1

,

ν

2

)

は分子の自由度

ν

1

,

分母の自由

ν

2

の 分布に従う確率変数である。

したがって,P [F (

ν

1

,

ν

2

)

F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)]

=1−

α

,

P [F

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)

F (

ν

1

,

ν

2

)

F

1

α

/2

 (

ν

1

,

ν

2

)]

=1−

α

が成り立つ。

更に,F

α

 (

ν

1

,

ν

2

)

)

,

(

1

1

2

1

ν

ν

α

F

も成り立つ。

分子の自由度

ν

1

,分母の自由度

ν

2

の 分布に従う確率変数 F (

ν

1

,

ν

2

)

の確率密度関数は,次のようになる(

属書 図 参照)。


49

Z 9041-2 : 1999

附属書 図 4  分子の自由度

ν

1

,分母の自由度

ν

2

の F (

ν

1

ν

2

の確率密度

品質管理分野国際整合化分科会

(主査)

尾  島  善  一

東京理科大学理工学部

(委員)

青  木  茂  雄

財団法人日本科学技術連盟

今  井  秀  孝

工業技術院計量研究所

柿  田  和  俊

社団法人日本鉄鋼連盟

加  藤  洋  一 QC コンサルタント

門  山      允

元東京国際大学(故人)

兼  子      毅

武蔵工業大学

椿      広  計

筑波大学社会工学系

仁  科      健

名古屋工業大学工学部

野  澤  昌  弘

東京理科大学経営学部

三佐雄  武  雄 QC コンサルタント

宮  津      隆

帝京科学大学理工学部

山  田      秀

東京理科大学工学部

岸  本  淳  司

株式会社 SAS インスティチュートジャパン

横  尾  恒  雄 QC コンサルタント

大  島  清  治

工業技術院標準部

(事務局)

竹  下  正  生

財団法人日本規格協会

安  田  順  子

財団法人日本規格協会